Предпрофильная подготовка, 9 класс Гимназия 20 учитель математики Титова И.В.

В клетке сидят фазаныи кролики, всего у них 18 ног. Узнайте, сколько в клетке тех и других.

Пусть х - число фазанов, у – число кроликов, 2х – число ног у фазанов, 4у – число ног у кроликов. А так как по условию в клетке 18 ног, то составим и решим уравнение с двумя переменными: 2х + 4у = 18, или х + 2у = 9. Решим уравнение в натуральных числах. Выразив х через у, получим: х = 9 – 2у. Используем метод подбора: х у Ответ: (7;1), (5;2), (3;3), (1;4).

ДИОФАНТ (ок. III в.) Диофант (вероятно, III в.)-древнегреческий математик из Александрии. О его жизни нет почти никаких сведений. Сохранилась часть математического трактата Диофанта «Арифметика" (6 кн. из 13) и отрывки книги о многоугольных (фигурных) числах. В «Арифметике", помимо изложения начал алгебры, приведено много задач, сводящихся к неопределенным уравнениям различных степеней, и указаны методы н ахождения решений таких уравнений в рациональных положительных числах; здесь же впервые появляется терминология многомерной геометрии. Изложение Диофанта чисто аналитическое. Для обозначения неизвестного и его степеней, обратных чисел, равенства и вычитания Диофант употреблял сокращенную запись слов. При умножении сумм и разностей двух чисел применял правила знаков. Имел представление об отрицательных числах, например, знал, что квадрат отрицательного числа равен положительному числу. Сочинения Диофанта были отправной точкой для теоретико- числовых исследований П. Ферма, Л. Эйлера, К. Гаусса и других математиков. Именем Диофанта названы два больших раздела теории чисел - теория диофантовых уравнений и теория диофантовых приближений.

Решить уравнение 7х – 11у = 36 Выразим из этого уравнения переменную х: Выделив целую часть, получим: Чтобы значение дроби было целым числом, надо, чтобы 1 + 4у было кратно 7. Запишем это условие в виде 1 + 4у = 7z, где z – целое число. Отсюда: Потребуем теперь, чтобы 3z + 3 было кратно 2, то есть чтобы выполнялось условие 3z + 3 =4u, где u – целое число. Отсюда:

Теперь потребуем, чтобы u было кратно 3: u = 3v, где v – целое число. Дробей больше нет. « Спуск» закончен и надо «подняться вверх», выразив х и у через v. Имеем: z = 4v – 1. Далее: y = 7v – 2, x = 11v + 2. Придавая в равенствах x = 11v + 2, y = 7v – 2 переменной v целые значения, будем получать целые решения нашего уравнения. Если требуется найти натуральные решения, то надо наложить дополнительное условие: 11v + 2 > 0, 7v – 2 > 0.