Логарифмы в нашей жизни

Аннотация к проекту: Авторы проекта: Винокурова Алина, Легум Анна Представляют: Винокурова Алина, Легум Анна, Кирин Павел Руководитель: Акулова Анна Сергеевна Цели проекта: 1)Расширить свои знания о логарифмической функции 2)Рассмотреть применение логарифмов в практических приложениях и физических явлениях 3)С помощью специальных формул перевести нотную грамоту на язык логарифмов Гипотеза: Удивительное рядом… Краткое содержание работы: 1) Историческая справка; 2) Роль логарифмов в музыке; 3) Звезды, шум и логарифмы; 4) Логарифмическая спираль 5) Нотная грамота и язык логарифмов

Немного истории Известный шотландский математик, Джон Непер вошел в историю математики как изобретатель логарифмов, он составитель первой таблицы логарифмов, которой посвятил 20 лет своей жизни. Описание удивительных таблиц логарифмов опубликовал лишь в 1614 году. Таблицы логарифмов нашли немедленное применение. Джон НЕПЕР John Napier ( )

Немного истории Параллельно с Непером над составлением таблицы логарифмов работал другой любитель математики - Йост Бюрги. Бюрги составил таблицы логарифмов раньше, но только в 1620 году издал свою книгу "Таблицы арифметической и геометрической прогрессии с обстоятельным наставлением, как пользоваться ими при всякого рода вычислениях". Йост Бюрги ( )

Немного истории В 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Эдмундом Гюнтером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений вплоть до появления ЭВМ.

Ода об экспоненте Две шкалы Гунтера – Вот чудо изобретательности. Экспонентой порождена Логарифмическая линейка: У инженера и астронома не было Инструмента полезнее, чем она. Даже изящные искусства питаются ею. Разве музыкальная гамма не есть Набор передовых логарифмов? Английский поэт Э.Брилл

Логарифмы в музыке «… Даже изящные искусства питаются ею Разве музыкальная гамма не есть - Набор передовых логарифмов?» Из «Оды экспоненте»

«Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математику. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика несовместимы. «Правда Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, но ведь как раз пифагорова- то гамма для нашей музыки и оказалось неприемлемой»

Частоту любого звука можно выразить формулой Ноте «до» соответствует частота, равная n колебаниям в секунду. В октаве частота колебаний нижнего звука в 2 раза меньше верхнего. Тогда ноте «до» 1-й октавы будут соответствовать 2n колебания в секунду, а ноте «до» 3-й октавы – 3n колебания в секунду и т.д. Обозначим все ноты хроматической гаммы номерами р.

Логарифмируя эту формулу, получаем

Принимая частоту самого низкого «до» за единицу n=1 и приводя логарифмы к основанию 2, имеем

«Открылась бездна звезд полна. Звездам числа нет, бездне – дна». Во II веке до н.э. Гиппарх разделил звезды на 6 групп. Самые яркие – звезды 1- ой величины, самые слабые – 6-ой величины. Установлено, что звезда 1-ой вел. ярче звезды 6-ой вел. ровно в 6 раз.

Громкость звука – 1 бел, 0,1 бел – 1 децибел. Тихий шелест листьев – 1 бел.

Крик, громкая речь – 6-7 бел

Рычанье льва – 8-9 бел

Шум водопада – 9 бел

Рев двигателя самолета – 20 бел

Шум, громкость которого больше 8 бел – признана вредной для организма человека. Эта норма зачастую превосходится в школе, на дискотеках, на заводах и фабриках. Музыка: рок – белов

Последовательные степени громкости – 1 бел, 2 бел, 3 бела и т.д. составляют арифметическую прогрессию. Физическая же «сила» этих шумов (точнее - энергия) составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость – есть десятичный логарифм его физической силы Итак, мы видим, что при оценке видимой яркости светил и при оценке громкости шума мы имеем дело c логарифмами. Величина ощущения прямо пропорциональна логарифму величины раздражения.

Логарифмическая спираль Спираль – это плоская кривая линия, многократно обходящая одну из точек на плоскости, которая называется полюсом спирали.

Первым ученым, открывшим эту удивительную кривую, был французский математик Рене Декарт Рене Декарт ( гг.)

Логарифмическая спираль Гиперболическая спираль Архимедова спираль

Логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. Т.е. в логарифмической спирали углу поворота пропорционален логарифм этого расстояния.

Свойство логарифмической спирали Якоб Бернулли открыл поразительное свойство спирали: кривая с «твёрдым» характером. Она не изменяется при сжатиях, растяжениях и поворотах.

По логарифмической спирали свёрнуты раковины многих улиток и моллюсков

По логарифмическим спиралям выстраиваются цветки в соцветиях подсолнечника

Даже пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по логарифмической спирали

По логарифмическим спиралям выстраиваются рога многих животных

По логарифмической спирали формируется тело циклона

По логарифмическим спиралям закручены многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система

Человеческое ухо – это маленькое чудо! Улитка является органом, воспринимающим звук, в котором самой природой заложена ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ! Улитка

Траектории насекомых летящих на свет также описывают логарифмическую спираль. ************************** Логарифмическая спираль единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров. Видимо, это свойство и послужило причиной того, что в живой природе логарифмическая спираль встречается чаще других.

Нотная грамота и язык логарифмов Изгиб гитары желтой Ты обнимаешь нежно Струна осколком эха, Пронзит тугую высь Качнётся купол неба, Большой и звёздно-снежный Как здорово, что все мы здесь Сегодня собрались

Нотная грамота и язык логарифмов

Выводы: 1) Рассмотрели вариативность свойств логарифмов 2) Подробно узнали о роли логарифмов в музыке 3)Познакомились с видами логарифмических спиралей, рассмотрели её свойства на наглядном примере; 4) С помощью специальных формул перевели нотную грамоту музыкального произведения О. Митяева «Изгиб гитары желтой» на язык логарифмов.