10 КЛАССЫ УСТНАЯ КОМАНДНАЯ ОЛИМПИАДА 19 ноября 2012 г. АДМИНИСТРАЦИЯ ЛУЖСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ « СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА 6»

самореализация учащихся, проявление ими своих математических способностей ; достижение успеха в равной борьбе ; выявление талантливых детей.

стимулировать способности к математическому творчеству ; развивать интуицию учащихся, их математическую культуру ; способствовать интеллектуальному развитию учащихся ; способствовать формированию таких качеств личности, как : ясность и точность мысли, интуиция, логическое мышление, способность к преодолению трудностей

Задача 1 (3 балла, 1,5 мин.) Средний возраст одиннадцати футболистов – 22 года. Во время игры один из игроков получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся игроков стал 21 год. Сколько лет футболисту, ушедшему с поля ?

Ответ : 32 Решение : 2211=242 года – возраст всех футболистов на поле 2110=210 лет – возраст всех оставшихся футболистов = 32 года – возраст ушедшего футболиста

Задача 2 (4 балла, 2 мин.) Какое наименьшее значение может принимать периметр неравнобедренного треугольника с целыми длинами сторон ?

Ответ : 9. Пусть a, b и c – целые длины сторон треугольника и a > b > c. Так как a > b > c, то a > 3. Если a = 3, то b = 2, c = 1, что невозможно, так как в этом случае не выполняется неравенство треугольника а < b + c. Если a = 4, то b + c > 4, значит, b = 3, c = 2, а периметр треугольника равен 9. Если а 5, то b + c 6, то есть периметр треугольника не меньше, чем 11.

Задача 3 (5 баллов, 3 мин.) Найдите наибольшее возможное значение выражения и при каких значениях переменных оно достигается ?

Ответ : 49; при х = 5, у = - 0,5 Решение :

Задача 4 (5 баллов, 2 мин.) Какое наименьшее количество точек можно отметить на поверхности куба так, чтобы количество точек на любых двух гранях куба различалось ? ( сделать чертеж )

Ответ : 6 точек.

Задача 5 (4 балла, 2 мин.) В компьютерной программе Excel столбцы таблиц нумеруются латинскими буквами. Первые 26 столбцов занумерованы от A до Z, 27- й столбец обозначен AA, 28- й AB и т. д. Как занумерован 700- й столбец ?

Ответ : ZX. Решение. 700 = 26· , поэтому цикл вторых букв от A до Z повторится 26 раз. Поскольку в обозначении первых 26 столбцов первая буква не писалась, то последний 26- й цикл будет соответствовать букве Y. Осталось ещё 24 столбца. Первая буква в их обозначении будет Z, а вторые буквы будут от A до X.

Задача 6 (6 баллов, 3 мин.) Большой треугольник разбит тремя жирными отрезками на четыре треугольника и три четырёхугольника. Сумма периметров четырёхугольников равна 25 см. Сумма периметров четырёх треугольников равна 20 см. Периметр исходного большого треугольника равен 19 см. Найдите сумму длин жирных отрезков.

Ответ : 13 Решение : Рассмотрим сумму периметров всех частей. Длины всех жирных отрезков будут посчитаны по 2 раза, а длины сторон исходного треугольника по 1 разу. То есть, чтобы получить сумму длин жирных отрезков нужно вычесть из полученной суммы периметр исходного треугольника и разделить на 2. Итого получаем ( ):2 = 13.

Задача 7 ( 5 баллов, 2 мин.) 16 карточек занумеровали от числами 1 до 16. Выложите их вдоль одной прямой так, чтобы сумма номеров на любых двух соседних карточках была точным квадратом ?

Решение : Число 16 может стоять только с краю, так как среди оставшихся чисел нет двух таких, которые в сумме с 16 дают квадраты Ответ :

Задача 8 (5 баллов, 2 мин.) Найдите значение выражения, если x 2 + y 2 = 6xy и x > y, х >0.

Ответ : Решение : Так как то

Задача 9 (5 баллов, 2 мин.) Даны 10 точек, расположенные в виде « равностороннего треугольника ». Какое наименьшее количество точек необходимо зачеркнуть, чтобы нельзя было построить ни одного равностороннего треугольника с вершинами в оставшихся точках.

Ответ : 4

Задача 10 (7 баллов, 5 мин.) Расположите числа в порядке возрастания :

Ответ : Решение :

Задача 11 (6 баллов, 3 мин.)

Ответ : -1 Решение :

Задача 12 (4 балла, 2 мин.) Найдите наибольшее натуральное n такое, что n 200 < 5 300

Ответ : 11 Решение : (n 2 ) 100

Задача 13 (6 баллов, 3 мин.) В диване живут клопы и блохи. Если в несколько раз станет больше клопов, то всего насекомых станет 2012, а если во столько же раз станет больше блох ( а количество клопов не изменится ), то всего насекомых будет Сколько насекомых в диване сейчас ?

Ответ : 1341 Решение :

Задача 14 (5 баллов, 2 мин.) В детский сад завезли карточки для обучения чтению : на некоторых из них написан слог МА, на остальных – слог НЯ. Каждый ребенок получил по три карточки и стал составлять слова. Оказалось, что из своих карточек 20 детей могут сложить слово МАМА, 30 детей – слово НЯНЯ, а 40 детей – слово МАНЯ. У скольких детей все три карточки одинаковые ?

Ответ : 10 детей Решение : =50 всего детей = 10

Задача 15 (6 баллов, 3 мин.) Построить график функции :

Решение :

Задача 16 (5 баллов, 2 мин ) При каких значениях а разность корней уравнения ах 2 + х -2 = 0 равна 3?

Ответ : а = 1; а = Решение : Пусть х 1 и х 2 – корни уравнения.

Подготовили учителя математики СОШ 6 г. Луга Марцинкевич Алла Константиновна Ингинен Ольга Вячеславовна