ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Чекрыжов Сергей 2009

Структурная схема АСР

Система регулирования давления в верхней части колонны

Система регулирования температуры продукта в теплообменнике

Виды математических представлений сигналов а – блок-схема системы; б – непрерывное; в – дискретно- непрерывное;г – дискретное

Виды математических представлений сигналов а – блок-схема системы; б – непрерывное; в – дискретно- непрерывное;г – дискретное

Виды математических представлений сигналов В результате квантования сигнала по времени при дискретно- непрерывном и дискретном представлениях может произойти потеря информации, так как остаются значения сигнала только в дискретные моменты времени. Теорема Котельникова: сигнал, описываемый функцией с ограниченным спектром, полностью определяется своими значениями, отсчитанными через интервал времени с Δt = 0,5 Fс, где Fc – ширина спектра сигнала. Смысл теоремы Котельникова состоит в том, что, если требуется передавать сигнал, описываемый функцией f (t) с ограниченным спектром, то достаточно передавать отдельные мгновенные значения, отсчитанные через конечный промежуток времени с Δt = 0,5 Fс. По этим значениям непрерывный сигнал может быть полностью восстановлен на выходе системы.

Сигналы. Их виды Единичный скачок. 1(t) называется также функцией Хевисайда. Если на исследуемом объекте резко открыть вентиль, в результате чего рас ход подаваемого вещества изменится скачком с F1 до F2, то говорят, что на входе объекта реализован скачкообразный сигнал величиной F2 – F1, и если последняя разность равна единице, то на входе реализуется единичный скачок.

Сигналы. Их виды Единичная импульсная функция – дельта-функция Дельта-функцию называют также функцией Дирака, она относится к классу сингулярных функций. Эту физически также нереализуемую функцию можно представить как импульс бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды, т.е. как предел, к которому стремится прямоугольный импульс с основанием Δt и площадью, равной единице, если Δt 0 так, чтобы площадь импульса сохранялась равной единице.

Представление дельта-функции а – прямоугольный импульс; б – δ(β, t)-функция

Гармонический сигнал Синусоидальный гармонический сигнал можно представить как вращение вектора длиной А вокруг начала координат с некоторой угловой скоростью ω, рад/с. Гармонический сигнал характеризуется такими параметрами, как амплитуда – А; период – Т; фаза – ϕ.

Основные способы математического описания Уравнения движения

В общем случае уравнения математической модели объекта или системы управления, которые устанавливают взаимосвязь между входными и выходными переменными, называются уравнениями движения. Уравнения, описывающие поведение системы регулирования в установившемся режиме при постоянных воздействиях, называются уравнениями статики. Уравнения, описывающие поведение системы регулирования при неустановившемся режиме во времени при изменяющихся входных воздействиях, называются уравнениями динамики.

Статическая характеристика объектов Статической характеристикой объекта (системы) называется зависимость выходной величины от входной в статическом режиме. Статическую характеристику можно построить экспериментально, если подавать на вход объекта постоянные воздействия и замерять выходную переменную после окончания переходного процесса. а – нелинейного; б – линейного

Принцип суперпозиции Линейными называются системы, подчиняющиеся принципу суперпозиции, который заключается в том, что реакция объекта на сумму входных сигналов Σ xi (t) равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности для любых xi(t). Математическая запись принципа суперпозиции состоит из двух соотношений:

Линеаризация нелинейной статической характеристики Одним из наиболее распространенных способов линеаризации является разложение нелинейной функции в ряд Тейлора в окрестности заданной точки и исключение нелинейных членов разложения.

Линеаризация нелинейной статической характеристики Если в пределах максимально возможных отклонений у и x от x0 и у0 f (x) мало отличается от линейной функции, то можно f (x) заменить ее приближением y = f (x). Функция f (х) находится из ряда Тейлора: Переходя к новой системе координат, получим линеаризованное уравнение объекта

Основные динамические характеристик

Основными динамическими характеристиками, используемыми в теории автоматического управления, являются передаточная функция, дифференциальное уравнение, временные характеристики: переходная функция, весовая функция; частотные характеристики: амплитудно-фазовая характеристика амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), фазо-частотная характеристика (ФЧХ), вещественно-частотная характеристика (ВЧХ), мнимая частотная характеристика (МЧХ) и соответственно расширенные – РАЧХ, РФЧХ и логарифмические – ЛАЧХ, ЛВЧХ.

Взаимосвязь динамических характеристик

Переходная и весовая функции а – ступенчатое воздействие; б – кривая разгона Переходной функцией называется аналитическое выражение для решения линейного дифференциального уравнения при входном сигнале x(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях, т.е. Кривой разгона называется реакция объекта (системы) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

Прямая задача (задача Коши) заключается в определении решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. В обратной задаче Коши требуется восстановить вид и коэффициенты дифференциального уравнения по известнойинтегральной кривой, например, переходной функции. Решение обратной задачи представляет значительную сложность вследствие ее некорректности и здесь существует специальный математический аппарат. На практике кривая разгона определяется экспериментальным путем и используется в качестве исходных данных для анализа и синтеза систем автоматического управления исследуемом объектом.

Преобразование Лапласа

Основным математическим аппаратом, который используется в теории автоматического управления, является специальный метод прикладного анализа, так называемый операционный метод, в основе которого лежит функциональное преобразование Лапласа. Преобразованием Лапласа называется преобразование функции x(t) переменной t в функцию х(s) другой переменной s при помощи оператора, определяемого соотношением где x(t) – оригинал функции; x(s) – изображение по Лапласу функции x(t); s – комплексная переменная s = α + iω.

Возможно и так называемое обратное преобразование Лапласа, позволяющее по изображению найти оригинал. Оно определяется соотношением где с – абсцисса сходимости функции x(s). Для большинства функций, встречающихся на практике, составлены таблицы соответствия между оригиналами и изображениями.

Таблица преобразования Лапласа