Презентация «Четыре замечательные точки треугольника» Выполнила О.А.Зуева, учитель математики МКОУ СОШ учебный год

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать» Галилео Галилей

Свойство биссектрисы неразвёрнутого угла Теорема1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. А Х М В С Е К Дано: ВАС, АХ – биссектриса, М є АХ, МЕ АВ, МК АС Доказать: МЕ = МК Доказательство. Теорема 2 ( обратная).Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла. Обобщённая теорема: биссектриса неразвёрнутого угла – множество точек плоскости, равноудалённых от сторон этого угла.

Серединный перпендикуляр к отрезку Теорема 1. К аждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Дано: АВ – отрезок, РК – серединный перпендикуляр, М є РК Доказать: МА = МВ Доказательство. А В Р К М Теорема 2. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Обобщённая теорема: серединный перпендикуляр к отрезку – множество точек плоскости, равноудалённых от его концов.

Взаимное расположение трех прямых Изобразите различное расположение прямых на плоскости.

Моделирование Сгибанием моделей треугольника(у каждого ученика), построить: 1. Биссектрисы (I ряд) 2. Медианы (II ряд) 3. Серединные перпендикуляры (IIIряд) 4. Высоты – на доске (1 ученик). Сделайте вывод. О чем пойдет речь на уроке?

Четыре замечательные точки треугольника высоты биссектрисы серединные перпендикуляры медианы

Первая замечательная точка треугольника Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (ИНЦЕНТР) Дано: АВС, АЕ, ВТ – биссектрисы, О - точка их пересечения Доказать: СУ – биссектриса АВС, О є СУ Доказательство: АЕ – биссектриса и ОМ АВ, ОК АС, значит, ОМ = ОК ВТ – биссектриса, и ОМ АВ, ОР ВС, значит, ОМ = ОP Значит, ОМ = ОК = ОР и ОР ВС, ОК АС, следовательно, О лежит на биссектрисе угла АСВ, т. е. СУ – биссектриса АВС. Е Т А В С О У Значит, О – точка пересечения трёх биссектрис треугольника. К М Р

Точка пересечения биссектрис треугольника - центр вписанной окружности инцентр

684 (стр180) Дано: АВС-равнобедренный треугольник. АА 1,ВВ 1 -биссектрисы углов при основании АВ. АА 1 иВВ 1 пересекаются в т. М. Доказать: СМ перпендикулярна АВ. Доказательство. АB C M A1A1 B1B1 О

678а В1В1 А1А1 А В С М Дано: Треугольник АВС, М-точка пересечения биссектрис АА 1 и ВВ 1.

Вторая замечательная точка треугольника Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке - центр описанной окружности Дано: АВС, k,n – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника, О – точка их пересечения Доказать: р – серединный перпендикуляр к ВС, О є р Доказательство: n – серединный перпендикуляр к АС и О є n, значит, ОА = ОС. k – серединный перпендикуляр к АВ и О є k, значит, ОА = ОВ. Следовательно, ОА = ОВ =ОС, значит, О лежит на серединном перпендикуляре к стороне ВС, т. е. на р. Значит, О – точка пересечения серединных перпендикуляров k, n, p. А В С k n p О

Вторая замечательная точка треугольника (продолжение) Ещё возможное расположение:

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника - центр описанной окружности

Задача 680. А В С D К М Дано: АВС, АМ = ВМ, МD AB, AK = KC, DK AC, D є BC. Доказать: D - середина ВС, А = В + С. Доказательство: AK = KC, DK AC, D є BC по условию, значит, AD = DC BD = DC, следовательно, D – середина ВС. АМ = ВМ, МD AB,D є BC по условию, значит, ВD = AD а) б) По доказанному ВD = ADAD = DC, значит, треугольники АВDи и АСD – равнобедренные, поэтому 1 = В, 2 = С. 1 2 ВАС = = В + С, что и т. д.

Физкультминутка

Третья замечательная точка треугольника Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую в отношении 2: 1, считая от вершины. (центр тяжести треугольника – центроид ) А В С М К Р О Дано: АВС, AM,ВК,СР - медианы Доказать: АМ ВК СР = О Доказательство проведено ранее: задача 1 п. 62.

Четвёртая замечательная точка треугольника Теорема. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке(ортоцентр). Доказать: О – точка пересечения высот или их продолжений. Дано: АВС, АК, ВН, СМ - высоты М А С(К,Н,О) В А В С Н МК О В С А Н К М О

103 тетрадь на печатной основе

Проверочный тест (у каждого ученика по вариантам)

Проверка I вариант

Проверка II вариант

Дома :678 б, 681, п.72-73, сообщение о прямой Эйлера, окружности 9-ти точек.

Синквейн- пятистрочное стихотворение 1 строчка – 1 существительное, выражающее главную тему, 2 строчка – 2 прилагательных, выражающих главную тему, 3 строчка – 3 глагола, описывающие действия в рамках темы, 4 строчка – фраза, несущая определенный смысл (по теме), 5 строчка – заключение в форме существительного (ассоциация с первым словом)

Дополнительное задание Теорема о малоизвестном свойстве биссектрисы треугольника Пусть биссектрисы АL 1,ВL 2,СL 3 треугольника АВС пересекаются в точке О, тогда АО/ОL 1 =(в+с)/ а, ВО/ОL 2 =(а+с)/в, СО/ОL 3 =(а+в)/с Доказательство. Из 535 : Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Обозначим стороныВС=а, СА=в, АВ=с. Пусть СL 1 =x, тогда ВL 1 =а-х. А С В L1L1 L3L3 L2L2 О х а в с

Прямая Эйлера

Окружность девяти точек, окружность Фейербаха, окружность Эйлера