МОДЕЛЬ РИККЕРА Качественный анализ

Основное уравнение 2 = const, K = const > 0 Параметр характеризует воспроизводительную способность вида в отсутствии лимитирования; параметр K характеризует емкость среды. (1)

Существование и устойчивость положений равновесия Положения равновесия Характер устойчивости < 0 = 00 < 2 > 2 0 N 1 *=0, АУУНУ N 2 *= K НУУАУНУ = 0 N* 0 У 3 Количество положений равновесия и характер их устойчивости зависит только от параметра.

С помощью замены уравнение (1) приводится к виду : (2) Переход к безразмерной переменной При 0 динамическая система (2) система имеет два положения равновесия X 1 *= 0 и X 2 *= 1. 4

Динамика решений при < 0 5 При любом начальном значении N 0 < K наблюдается стабилизация на равновесном уровне N 1 *=0.

Динамика решений при = 0 6 Любому начальному значению N 0 соответствует стационарное решение. Положения равновесия устойчивы, но не асимптотически.

Динамика решений при 0 < < 1 7 При любом начальном значении N 0 0 наблюдается стабилизация на равновесном уровне N 2 *=K ( монотонное затухание отклонений ).

Динамика решений при 1 < < 2 8 При любом начальном значении N 0 0 наблюдается стабилизация на равновесном уровне N 2 *=K ( затухающие колебания ).

Динамика решений при = 2 9

Динамика решений при = 2,2 10

Динамика решений при = 2,6 11

12 Отличительной чертой скалярных динамических систем вида N t+1 =F(N t ) является возможность их простого итерирования при задании некоторого начального условия N 0. Однако даже такое простое итерирование может оказаться чрезвычайно полезным. Один из создателей современной биоматематики, теоретический биолог Роберт Мэй еще в 1976 году писал : « Для всех нас было бы лучше, если бы не только в научной работе, но и в повседневной политической и экономической жизни как можно больше людей поняло, что простые нелинейные системы не всегда обладают простыми динамическими свойствами.»

Существование и устойчивость цикла длины 2 13 Цикл длины 2: (K(1- x 0 ), K(1+ x 0 )), x 0 – положительный корень уравнения (3) Уравнение (3) имеет корни x 0 и – x 0, если > 2. Цикл является притягивающим, если (4) Условие (4) равносильно условию где

X* - X* f(x)f(x) ( x ) Область устойчивости цикла длины 2 14