Введение в теорию пределов

Последовательность Опр. Числовой последовательностью называется функция, заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко обозначается - общий или n- ый член последовательности Примеры:

Предел последовательности Число называется пределом последовательности если для любого положительного числа найдётся такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство

Предел функции в точке Определение Коши (в терминах ) Число А называется пределом функции в точке (при ), если для любого найдётся число, что для всех, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство

Односторонние пределы Число называется пределом функции в точке слева, если для любого существует, что при выполняется неравенство Число называется пределом функции в точке справа, если для любого существует, что при выполняется неравенство

Предел функции в бесконечности Число А называется пределом функции при, если для любого существует такое число М>0, что при всех, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство

Бесконечно большая функция Функция называется бесконечно большой при, если для любого числа М>0 существует, что для всех, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство

Бесконечно малая функция (величина) Функция называется бесконечно малой при, если (б.м.величина) Величина обратная б.м.ф. есть б.б.ф: если - б.м.ф. ( ), то - б.б.ф, Величина обратная б.б.ф. есть б.м.ф.: если - б.б.ф. ( ), то - б.м.ф

Теоремы о бесконечно малых Пусть и - бесконечно малые функции, – ограниченная функция. Тогда… 1. Сумма (разность) б.м.ф. есть б.м.ф.: 2. Произведение б.м.ф. есть б.м.ф.: 3. Произведение б.м.ф. и ограниченной есть б.м.ф. 4. Частное б.м.ф. и функции

Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией

Основные теоремы о пределах Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: Постоянный множитель можно выносить за знак предела: Функция может иметь только один предел при

Основные теоремы о пределах Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Признаки существования пределов Теорема о пределе промежуточной функции. Если функция заключена между двумя функциями, стремящимися к одному и тому же пределу, то она стремится к этому пределу. Теорема о пределе монотонной функции. Если функция монотонная и ограниченная при, то существует соответственно её левый предел или её правый предел

Замечательные пределы I ЗП (первый замечательный предел) I I ЗП (второй замечательный предел) или

Эквивалентные бесконечно малые

Применение эквивалентных б.м. для вычисления пределов функций Т. При вычислении предела функции можно бесконечно малую функцию заменить на ей эквивалентную.

Правило Лопиталя При раскрытии неопределённости вида редел отношений функций равен пределу отношений производных этих функций.