Некоторые применения теоремы Пифагора Автор Янченко Т.Л. Автор Янченко Т.Л. Август 12, 2004 Август 12, 2004 Автор Янченко Т.Л. Автор Янченко Т.Л. Август 12, 2004 Август 12, 2004

Ниже будем использовать следующие обозначения: катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника ABC соответственно a, b и c ; ABC соответственно a, b и c ; sin A = a / c, sin B = b / c ; sin A = a / c, sin B = b / c ; фигуры 1, 2, 3, их длины, площади и их объемы фигуры 1, 2, 3, их длины, площади и их объемы соответственно F 1,F 2,F 3 ;L 1,L 2,L 3 ; S 1,S 2,S 3 и V 1,V 2,V 3. соответственно F 1,F 2,F 3 ;L 1,L 2,L 3 ; S 1,S 2,S 3 и V 1,V 2,V 3. Ниже будем использовать следующие обозначения: катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника ABC соответственно a, b и c ; ABC соответственно a, b и c ; sin A = a / c, sin B = b / c ; sin A = a / c, sin B = b / c ; фигуры 1, 2, 3, их длины, площади и их объемы фигуры 1, 2, 3, их длины, площади и их объемы соответственно F 1,F 2,F 3 ;L 1,L 2,L 3 ; S 1,S 2,S 3 и V 1,V 2,V 3. соответственно F 1,F 2,F 3 ;L 1,L 2,L 3 ; S 1,S 2,S 3 и V 1,V 2,V 3.

Теорема Пифагора и подобие фигур для n - мерного пространства Будем считать F 1 подобной F 2 в n - мерном пространстве с Будем считать F 1 подобной F 2 в n - мерном пространстве с коэффициентом подобия к, если есть величины W 1 и W 2коэффициентом подобия к, если есть величины W 1 и W 2 соответственно такие, что W 1 /W 2 =k n.соответственно такие, что W 1 /W 2 =k n. Т1. Если F 1 подобна F 3, где k= n V¯a 2 /c 2, F 2 подобна F 3, гдеТ1. Если F 1 подобна F 3, где k= n V¯a 2 /c 2, F 2 подобна F 3, где k= n V¯b 2 /c 2, и W 1 +W 2 =W3, то a,b и с - стороны прямоугольного треугольника.k= n V¯b 2 /c 2, и W 1 +W 2 =W3, то a,b и с - стороны прямоугольного треугольника. Т2. Если F1 подобна F3, где k= n V¯a 2 /c 2, F2 подобна F3, гдеТ2. Если F1 подобна F3, где k= n V¯a 2 /c 2, F2 подобна F3, где k= n V¯ b 2 /c 2, и а,b и с- стороны прямоугольного треугольника,тоk= n V¯ b 2 /c 2, и а,b и с- стороны прямоугольного треугольника,то W 1 +W 2 = W 3. W 1 +W 2 = W 3.

Теорема 1 и теорема 2 для двухмерного пространства Т1. Если F 1 подобна F 3, где k=a/c=sin A, F 2 подобна F 3, где k=b/c=sin B, и S 1 +S 2 =S 3, то a,b и c- стороны прямоугольного треугольника.Т1. Если F 1 подобна F 3, где k=a/c=sin A, F 2 подобна F 3, где k=b/c=sin B, и S 1 +S 2 =S 3, то a,b и c- стороны прямоугольного треугольника. Т2. Если F 1 подобна F 3, где k=a/c=sin A, F 2 подобна F 3, где k=b/c=sin B, причем a, b и c- стороны прямоугольного треугольника, то S 1 +S 2 =S 3.

а b c F1F1 F2F2 F3F3 a 2 +b 2 =c 2 S 1 +S 2 =S 3 k 1 =a/c k 2 =b/c Иллюстрация к теоремам 1 и 2

Доказательство Т 1 Доказательство Т 1 Из подобия фигур следует равенство : Из подобия фигур следует равенство : S 1 +S 2 =S 3 (a 2 +b 2 )/c 2 (см.доказательствоТ2).S 1 +S 2 =S 3 (a 2 +b 2 )/c 2 (см.доказательствоТ2). По условию S 1 +S 2 =S 3, следовательно По условию S 1 +S 2 =S 3, следовательно (a 2 +b 2 )/c 2 =1, откуда а 2 +b 2 =c 2. Тогда по(a 2 +b 2 )/c 2 =1, откуда а 2 +b 2 =c 2. Тогда по обратной теореме Пифагора имеем : a, b и cобратной теореме Пифагора имеем : a, b и c есть стороны прямоугольного треугольника.есть стороны прямоугольного треугольника. Теорема доказана. Теорема доказана.

Доказательство Т2 Доказательство Т2 Из подобия фигур, отношение площадей Из подобия фигур, отношение площадей которых равно квадрату коэффициента которых равно квадрату коэффициента подобия, следует : S 1 = (a 2 /c 2 )S 3, S 2 = (b 2 /c 2 )S 3. подобия, следует : S 1 = (a 2 /c 2 )S 3, S 2 = (b 2 /c 2 )S 3. Тогда S 1 +S 2 = (a 2 /c 2 ) S 3 + (b 2 /c 2 )S 3 = Тогда S 1 +S 2 = (a 2 /c 2 ) S 3 + (b 2 /c 2 )S 3 = =(a 2 /c 2 +b 2 /c 2 )S 3 =S 3 (a 2 +b 2 )/c 2 =S 3, так как по =(a 2 /c 2 +b 2 /c 2 )S 3 =S 3 (a 2 +b 2 )/c 2 =S 3, так как по теореме Пифагора a 2 +b 2 =c 2. теореме Пифагора a 2 +b 2 =c 2. Итак, имеем S 1 +S 2 =S 3. Теорема доказана. Итак, имеем S 1 +S 2 =S 3. Теорема доказана.

F2 F1 F3 a b c S 1 +S 2 =S 3 a 2 +b 2 =c 2 k 1 =a/c k 2 =b/c Иллюстрация к Т1 и Т2 Иллюстрация к Т1 и Т2

Теорема 3 и теорема 4 для трехмерного пространства Теорема 3 и теорема 4 для трехмерного пространства Т3. Если F 1 подобна F 3, где k= 3 V¯(a/c) 2, F 2 подобна F 3, где k= 3 V¯(b/c) 2, и V 1 +V 2 =V 3, то a,b и c- стороны прямоугольного треугольника.Т3. Если F 1 подобна F 3, где k= 3 V¯(a/c) 2, F 2 подобна F 3, где k= 3 V¯(b/c) 2, и V 1 +V 2 =V 3, то a,b и c- стороны прямоугольного треугольника. Т4. Если F 1 подобна F 3, где k= 3 V¯(a/c) 2, F 2 подобна F 3, где k= 3 V¯(b/c) 2, причем a, b и c - стороны прямоугольного треугольника, то верно V 1 +V 2 =V 3.Т4. Если F 1 подобна F 3, где k= 3 V¯(a/c) 2, F 2 подобна F 3, где k= 3 V¯(b/c) 2, причем a, b и c - стороны прямоугольного треугольника, то верно V 1 +V 2 =V 3.

Доказательство Т3 и Т4. Отношение объемов подобных фигур равно кубу коэффициента подобия, поэтому V 1 =(а 2 /c 2 )V 3 и V 2 =(b 2 /c 2 )V 3, откуда V 1 +V 2 =V 3 (a 2 +b 2 )/c 2. (1) Т3 Т3. По условию V 1 +V 2 =V 3,тогда из равенства(1) следует a 2 +b 2 =c 2 и то,что a,b и c - cтороны прямоугольного треугольника. Т4. Т4. По условию a,b и c-стороны прямоугольного треугольника, т.е. a 2 +b 2 =c 2,тогда из равенства (1) следует, что V 1 +V 2 =V 3. Теоремы доказаны. Доказательство Т3 и Т4

V 1 +V 2 =V 3 a 2 +b 2 =c 2 k 1 = 3 V - (a/c) 2 k 2 = 3 V - (b/c) Иллюстрация к теоремам 3 и 4

V 1 +V 2 =V 3 a 2 +b 2 =c 2 k 1 = 3 V - (a/c)2 k 2 = 3 V - (b/c) Иллюстрация к теоремам 3 и 4 Иллюстрация к теоремам 3 и 4

Теоремы 5 и 6 для одномерного пространства Т5. Если F 1 подобна F 3, где к=а 2 /с 2, F 2 подобна F 3,Т5. Если F 1 подобна F 3, где к=а 2 /с 2, F 2 подобна F 3, где к=b 2 /c 2, и L 1 +L 2 =L 3, то a,b и с - стороныгде к=b 2 /c 2, и L 1 +L 2 =L 3, то a,b и с - стороны прямоугольного треугольника.прямоугольного треугольника. Т6. Если F 1 подобна F 3, где к=а 2 /с 2, F 2 подобна F 3,Т6. Если F 1 подобна F 3, где к=а 2 /с 2, F 2 подобна F 3, где к=b 2 /c 2, и а,b и с - стороны прямоугольногогде к=b 2 /c 2, и а,b и с - стороны прямоугольного треугольника, то L 1 +L 2 =L 3.треугольника, то L 1 +L 2 =L 3.

Иллюстрация для одномерного пространства a c b L1L1 L3L3 L2L2 k 1 =a 2 /c 2 k 2 =b 2 /c 2 a 2 + b 2 =с 2 L 1 +L 2 = L 3