Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей 230» Ортотреугольник и его свойства Работу выполнила ученица 9 «А» класса МОУ «Лицей» 230 Волкова Екатерина Евгеньевна. Руководитель: Редкина Елена Ивановна г.Заречный, Пензенская область 2008 г.
Италия, начало XVIII века Инженер и математик Фаньяно Дей Тоски ( ) Задача: вписать в данный остроугольный треугольник ABC треугольник наименьшего периметра так, чтобы на каждой стороне треугольника ABC лежала одна вершина треугольника. Существует единственный вписанный треугольник наименьшего периметра - ортотреугольник.
Цель данной работы: описание дополнительных геометрических свойств треугольника. Задачи: 1) выяснить, что такое ортотреугольник; 2) изучить его свойства; 3) рассмотреть возможное применение этих свойств к решению задач.
Определение ортотреугольника АС В А1А1 В1В1 С1С1
Свойства ортотреугольника 1.Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному. 2.Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующей стороной исходного треугольника. 3. Высоты треугольника являются биссектрисами ортотреугольника. 4. Ортотреугольник – это треугольник с наименьшим периметром, который можно вписать в этот треугольник. 5. Периметр ортотреугольника равен удвоенному произведению высоты треугольника на синус угла, из которого она исходит. А С В А1А1 В1В1 С1С1 О
2.1 Теорема о подобии треугольников 1. А С В А1А1 В1В1 С1С1 Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному.
2.2 Теорема о свойстве биссектрис ортотреугольника В А С А1А1 В1В1 С1С1 Н
2.3 Теорема Фаньяно А1А1 В1В1 С1С1 A2A2 A3A3 P А В С Q Среди всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник, наименьший периметр имеет ортотреугольник.
2.4 Физический смысл и механическая модель задачи Фаньяно
2.5 Периметр ортотреугольника АС В А1А1 В1В1 С1С1
Задача 1. Пусть и – высоты треугольника АВС. Докажите, что треугольник подобен треугольнику АВС. Чему равен коэффициент подобия? АС В А1А1 В1В1 С1С1
Задача 3. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АD, ВЕ и СF.Докажите, что pR=Pr, где p-периметр треугольника EDF, Р – периметр треугольника АВС. АВ С D E F АВ С О
Задача 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC = 4 и боковой стороной AB = 8 проведены высоты. Найти периметр треугольника и длину высоты. АС В А1А1 С1С1 В1В1