Пирамиды.

Многопрофильная гимназия 79 ОТКРЫТЫЙ УРОК « » «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПИРАМИДА И ЕЁ ПРОЕКЦИЯ» Учитель: Волкова Лидия Николаевна Учитель: Волкова Лидия Николаевна 2009г. 2009г. Город Алматы

Дасиева Роза, Набоко Михаил, Ибрагимова Карина, Егизбаева Айнура, Асанова Эльвира, Ускенбаева Мадия.

Пирамида. Слово «пирамида» в геометрию ввели греки, которые, как полагают, заимствовали его у египтян, создавших самые знаменитые пирамиды в мире. Другая теория выводит этот термин из греческого слова «пирос» (рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы, имевшие форму пирамиды.

Пирамида - многогранник, у которого основание- многоугольник, боковые грани- треугольники, имеющие общую вершину.

Пирамиды: Полные Усеченные Неправильная Правильная

Вид пирамиды зависит от многоугольника, который лежит в основании.

Пирамида треугольная

Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный n – угольник A 1 A 2 …A n, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. Этот n – угольник A 1 A 2 …A n называется основанием пирамиды. Треугольные грани называются боковыми гранями. Общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания называются боковыми рёбрами. Объединение боковых граней пирамиды называется её боковой поверхностью. Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. O S C D В А ABCD – основание S – вершина SO – высота

Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой этой пирамиды. Все апофемы равны друг другу. Если в основании пирамиды лежит n-угольник, то пирамида называется n-угольной. Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр задается четырьмя вершинами; грани тетраэдра – четыре треугольника. Тетраэдр называется правильным, если все его рёбра равны.

· Все боковые рёбра равны между собой. · Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. · Все двугранные углы при основании равны. · Все плоские углы при вершине равны. · Все плоские углы при основании равны · Апофемы боковых граней одинаковы по длине. · В любую правильную пирамиду можно вписать сферу.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней. S полн =S бок +S осн Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей её боковых граней. Площадь боковой грани правильной пирамиды: S бок.гр. =1/2*m*/g/, где m – апофема, /g/ - основание грани Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sбок.пов.=1/2 * (Pосн* m), где m – апофема, Р – периметр основания

Объём пирамиды V=(1/3)*S осн *h, где S – площадь основания, h – высота пирамиды.

Усечённая пирамида – это часть пирамиды, лежащая между основанием и параллельным основанию сечением. Усечённая пирамида является частным случаем пирамиды. Определение.

Основания усечённой пирамиды – основание исходной пирамиды и многоугольник, полученный при пересечении её плоскостью (A 1 A 2 …A n и B 1 B 2 …B n ). Отрезки A 1 B 1, A 2 B 2, …, A n B n называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды. Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции. Усечённую пирамиду с основаниями A1A2…An и B1B2…Bn обозначают так: A1A2…AnB1B2…Bn. Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усечённой пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами. A1 A2 A3 AnAn B1 B2 BnBn O

1. Боковые рёбра и высота пирамиды делятся секущей плоскостью на пропорциональные отрезки. 2. В сечении получается многоугольник, подобный многоугольнику, лежащему в основании. 3. Площади сечения и основания будут относится между собой, как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Площадь поверхности правильной усечённой пирамиды: S=(1/2)*m*(P+P 1 ), где m – апофема, P- периметр оснований, P 1 - периметр боковой поверхности. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему: S бок =1/2*(Р в +Р н )* m, где m – апофема, Р в, Р н – периметр верхнего и нижнего оснований Объём усечённой пирамиды: V=(1/3)*h*(S1+S1S2+S2), где S1, S2 – площади оснований. Площадь боковой грани: Sбок.гр.=1/2*m*(g+g1), гдеm – апофема, g, g1 – основания б оковой грани.

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через её вершину, представляют собой треугольники. В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды. A C D S B E F A C D S B SDB – диагональное сечение пирамиды SABCD.

Построить сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через прямую g и точку Е є пл.(SCD). K G H L M N F S B A C D E g Решение: 1. Проведем прямую CD, CD g F, F Є (SCD). 2. Проведем прямую FE, получим точки пересечения с ребрами пирамиды: SD FE H, SC FE G. 3. Построим прямую AD. AD g K, K Є (SAD). 4. Через точки K и H проведем прямую KH. KH SA L. 5. Построим прямую AВ, AВ g M, M Є (SAB). 6. Через точки M и L строим ML SB N. 7. Соединяем точки G, H, L, N. Сечение GHLM построено.

Построить сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через прямую g и точку Е є пл.(SCD). K G H L M N F S B A C D E g Решение: 1. Проведем прямую CD, CD g F, F Є (SCD). 2. Проведем прямую FE, получим точки пересечения с ребрами пирамиды: SD FE H, SC FE G. 3. Построим прямую AD. AD g K, K Є (SAD). 4. Через точки K и H проведем прямую KH. KH SA L. 5. Построим прямую AВ, AВ g M, M Є (SAB). 6. Через точки M и L строим ML SB N. 7. Соединяем точки G, H, L, N. Сечение GHLM построено.

ВСЕМ СПАСИБО!!! КОНЕЦ!