Координатный метод Геометрия Подготовила Глазкрицкая Светлана Геннадьевна

Содержание Координаты точки Расстояние между точками Уравнение окружности Координаты середины отрезка Уравнение прямой Заключение

Координаты точки Говорят, что на плоскости задана прямоугольная система координат, если через некоторую точку О плоскости проведены две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление (которое на рисунке отмечается стрелкой) и одна и та же единица измерения отрезков. Точка O называется началом координат, а прямые с выбранными на них направлениями – осями координат. Одна из осей координат называется осью абсцисс, а другая – осью ординат. Ось абсцисс обозначается Ox, а ось ординат – Oy. x y O 1 1 Прямоугольная система координат: O – начало; Ox – ось абсцисс; Oy – ось ординат; Ox Oy на осях выбран масштаб (единичный отрезок)

Для каждой из осей определены два противоположных луча с началом в точке O. Луч, направление которого совпадает с направлением координатной оси, называется положительной полуосью, а другой – отрицательной полуосью. x y O Положительные полуоси Отрицательные полуоси 1 1

Если на плоскости задана прямоугольная система координат, то в этой системе координат каждой точке M плоскости соответствует упорядоченная пара чисел x, y. Эта пара чисел называется координатами точки M. Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой. x y O 1 1 M (x; y) X Y абсцисса ордината

Пусть M 1 и M 2 – точки пересечения осей координат Ox и Oy с прямыми, проходящими перпендикулярно им через точку M соответственно. Тогда координаты x, y точки M определяются следующим образом: x = OM 1, если точка M 1 принадлежит положительной полуоси; x = 0, если M 1 совпадает с точкой O; x = – OM 1, если точка M 1 принадлежит отрицательной полуоси; y = OM 2, если M 2 принадлежит положительной полуоси; y = 0, если M 2 совпадает с точкой О; y = – OM, если точка M 2 принадлежит отрицательной полуоси. x y O 1 1 M M1M1 M2M2

Координаты точки M записываются в скобках после обозначения точки: M (x; y) (на первом месте записывается абсцисса, на втором записывается ордината). Если точка M лежит на оси Ox, то она имеет координаты (x; 0), если M лежит на оси Oy, то ее координаты – (0; y). x y O M (x; 0) M (0; y) x y O

Рассмотрим примеры. Пусть ABCD – квадрат, длина стороны которого равна двум единицам длины, а прямоугольная система координат выбрана так, как показано на рисунке 1. Тогда в выбранной системе вершины квадрата имеют координаты: A (0; ); B ( ; 0); C (0; – ); D (– ; 0). Если система координат выбрана так, как показано на рисунке 2, то координаты вершин данного квадрата в этой системе имеют координаты: A (1; 1); B (1; –1); C (–1; –1); D (–1; 1). x y O A B C D 1 1 x y O A (1; 1) B (1; -1) C (-1; -1) D (-1; 1) Рис. 1 Рис. 2

Рассмотрим вопрос о нахождении расстояния между точками, если известны их координаты. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат и известны координаты точек A и B в этой системе координат: A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ). Тогда расстояние d (A, B) = AB между точками A и B можно найти по формуле x y O A (x 1 ; y 1 ) B (x 2 ; y 2 ) x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 Расстояние между точками

Докажем формулу для случая, когда и, т. е. когда отрезок AB не параллелен ни одной из координатных осей. Пусть C – точка пересечения прямых l 1 и l 2, которые проходят через точки A, B соответственно и параллельны осям Oy, Ox. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Длины сторон AC и BC равны: AC =, BC =. Тогда по теореме Пифагора или x y O l1l1 l2l2 A B C

Заметим, что формула верна и для случаев: а) х 1 = х 2, y 1 y 2 (отрезок параллелен оси Oy, рисунок 1); б) х 1 х 2, у 1 = у 2 (отрезок параллелен оси Ox, рисунок 2); в) х 1 = х 2, у 1 = у 2 (точки A и B совпадают). В случае а) d (A, B) = AB =. В случае б) d (A, B) = AB =. Если точки A и B совпадают, то d (A, B) = 0. x y Ox y1y1 y2y2 A (x; y 1 ) B (x; y 2 ) x y O A (x 1 ; y)B (x 2 ; y) x1x1 x2x2 Рис. 1 Рис. 2

Рассмотрим пример. Пусть необходимо вычислить площадь квадрата ABCD, две вершины которого имеют координаты A (8; 8) и B (5; 5). Площадь квадрата равна квадрату длины стороны. Следовательно, S ABCD = AB². Для вычисления длины стороны AB воспользуемся формулой расстояния между двумя точками Таким образом, площадь квадрата S ABCD = AB = 18 кв. ед. Ответ: 18 кв. ед.

Уравнение окружности Рассмотрим вопрос об уравнении окружности. Уравнение с двумя переменными называется уравнением фигуры, если ему удовлетворяют координаты любой точки этой фигуры и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих данной фигуре. Составим уравнение окружности с центром в точке O (x 0 ; y 0 ) и радиусом R. Пусть точка M (x; y) принадлежит окружности. Тогда в силу определения окружности СM = R. Следовательно, квадрат расстояния между точками С и M равен квадрату радиуса: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = R 2. x y O C x0x0 y0y0 M (x; y)

Пусть точка M 1 (x 1 ; y 1 ) не принадлежит окружности, тогда СM 1 R, а значит, (x – x 1 ) 2 + (у – у 1 ) 2 R 2, т. е. если точка не принадлежит окружности, то еe координаты не удовлетворяют уравнению (x – x 0 ) 2 + (у – у 0 ) 2 = R 2. Таким образом, уравнение (x – x 0 ) 2 + (у – у 0 ) 2 = R 2 есть уравнение окружности с центром в точке С (x 0 ; y 0 ) и радиусом R. Заметим, что если центр окружности совпадает с началом системы координат, то уравнение окружности имеет вид x 2 + y 2 = R 2. x y O R

Задача. Составьте уравнение фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, сумма квадратов расстояний которых от точек A (–6; 0) и B (6; 0) равна 104. Решение. x y O AB M 1) Пусть M (x; y) – точка, принадлежащая фигуре, уравнение которой необходимо составить. Тогда по условию задачи AM 2 + BM 2 = ) Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между точками, координаты которых известны. Получаем: 3) По условию задачи (x + 6) 2 + y 2 + (x – 6) 2 + y 2 = 104. После упрощения получаем x 2 + y 2 = 16. Если точка M (x; y) не принадлежит фигуре, о которой идет речь в задаче, то AM 2 + BM 2 104, а значит, координаты точки M (x; y) не удовлетворяют уравнению x 2 + y 2 = 16. Таким образом, уравнение фигуры имеет вид x 2 + y 2 = 16 и фигура является окружностью с центром в начале координат и радиусом 4.

Координаты середины отрезка Рассмотрим вопрос о вычислении координат середины отрезка, если известны координаты концов этого отрезка. Пусть A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ) – произвольные точки плоскости, а точка C (x 0 ; y 0 ) – середина отрезка AB. Найдем координаты х 0 и y 0. Найдем координату x 0. 1) Пусть отрезок AB не параллелен оси Oy, т. е. x 1 x 2. Проведем через точки A, B и C прямые, параллельные оси Oy, которые пересекают ось Ox в точках A 1 (x 1 ; 0), B 1 (x 2 ; 0) и C 0 (x 0 ; 0) соответственно. Тогда по теореме Фалеса точка C 0 (x 0 ; 0) – середина отрезка A 1 B 1, т. е. A 1 C 0 = C 0 B 1 или |x 0 – x 1 | = |x 0 – x 2 |. Отсюда следует, что либо x 0 – x 1 = x 0 – x 2, либо x 0 – x 1 = –(x 0 – x 2 ). Так как x 1 x 2, то первое равенство невозможно, а значит, верно второе равенство, из которого получаем, что x y O A B C A1A1 B1B1 C0C0

2) Пусть отрезок AB параллелен оси Oy, т. е. x 1 = x 2. В этом случае все точки A 1, B 1, C 0 имеют одну и ту же абсциссу, а следовательно, формула верна и в этом случае (рис. 1). Координата y 0 точки C 0 находится аналогично. В этом случае рассматриваются прямые, параллельные оси Oх (рис. 2), а соответствующая формула имеет вид x y O A B C x y O A B C Рис. 1 Рис. 2

x y O A (x 1 ; y 1 ) B (x 2 ; y 2 ) C (x 0 ; y 0 ) x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 Середина C отрезка AB, где A (x 1 ; y 1 ), B (x 2 ; y 2 ): x0x0 y0y0

Задача. Концами отрезка служат точки A (–8; –5), B (10; 4). Найдите координаты точек C и D, которые делят отрезок AB на три равные части. Решение. Пусть точки C и D имеют координаты (x C ; y C ) и (x D ; y D ). 1) Найдем абсциссы точек C и D. Так как точка C – середина отрезка AD, то выполняется равенство так как точка D – середина отрезка CB, то Решив систему 2x C = x D – 8, 2x D = 10 + x C, находим x C = –2, x D = 4.

2) Найдем ординаты точек С и D. Для нахождения ординат точек С и D воспользуемся равенствами Решив систему 2y C = y D – 5, 2y D = y C + 4, находим y C = –2, y D = 1. Ответ: C (–2; –2), D (4; 1).

Уравнение прямой Выведем уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты которых известны. Пусть на плоскости дана прямая l и выбрана прямоугольная система координат. Рассмотрим две различные точки A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ) такие, что прямая l является серединным перпендикуляром для отрезка AB. 1) Если точка M (x; y) лежит на прямой l, то AM = BM. Следовательно, координаты точки M удовлетворяют уравнению (x – x 1 ) 2 + (y – y 1 ) 2 = (x – x 2 ) 2 + (y – y 2 ) 2, которое после преобразования принимает вид ax + by + c = 0, где a = 2(x 1 – x 2 ), b = 2(y 1 – y 2 ), c = x y 2 2 – x 1 2 – y 1 2. Заметим, что хотя бы один из коэффициентов a, b уравнения ax + by + c = 0 не равен нулю, т. к. точки A и B различные, а значит, хотя бы одна из разностей x 1 – x 2, y 1 – y 2 не равна нулю. Таким образом, если точка M лежит на прямой l, то ее координаты удовлетворяют уравнению ax + by + c = 0, где коэффициенты a и b одновременно не равны нулю. x y O l A B M

2) Если точка M (x; y) не лежит на прямой l, то AM BM и AM 2 BM 2, а следовательно, координаты точки M не удовлетворяют уравнению ax + by + c = 0. Таким образом, уравнением прямой в прямоугольной системе координат является уравнение первой степени ax + by + c = 0, где a и b одновременно не равны нулю. x y O A B M l Если a = 0, то y = c 1 – прямая || Ox. Если b = 0, то y = c 2 – прямая || Oy. Если с = 0, то прямая проходит через O (0; 0).

Задача. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ACB с прямым углом при вершине C. Найдите множество точек M плоскости, для каждой из которых выполняется условие AM 2 + BM 2 = 2CM 2. Решение. Рассмотрим систему координат, начало которой совпадает с вершиной C, а вершины A и B расположены на осях Ox и Oy, как показано на рисунке. Если катет данного треугольника равен a, тогда (0; 0), (a; 0), (0; a) – координаты точек C, A и B в выбранной системе координат соответственно. Пусть (x; y) – координаты точки M, принадлежащей искомому множеству точек. x y C A B

Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между точками, если известны их координаты: По условию задачи AM 2 + BM 2 = 2CM 2, следовательно, (x – a) 2 + y 2 + x 2 + (y – a) 2 = 2(x 2 + y 2 ). Отсюда получаем уравнение x + y – a = 0. Если точка M (x; y) не принадлежит искомому множеству точек, то AM 2 + BM 2 2CM 2, а значит, координаты точки M не удовлетворяют уравнению x + y – a = 0. Таким образом, x + y – a = 0 есть уравнение искомого множества точек и это множество есть прямая, на которой лежит гипотенуза AB данного треугольника.

Заключение Суть координатного метода заключается в том, что введение системы координат позволяет записать условие задачи в координатах и решать еe, используя знания по алгебре.