Понятие обратной функции. Определение логарифмической функции. Алгебра и начала анализа, 11 класс Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Рассмотрим пример какой-либо функции, заданной в явном виде формулой y = f ( x ). Пусть, для определенности, это будет линейная функция y =2 x –7. Вспомним, как выполняется такая задача: найти значение функции по заданному значению аргумента. Вспомнили?.. …Правильно: для этого надо данное значение аргумента подставить в формулу и произвести вычисления. Например, при x =2, значение функции равно y =2 2–7=–3. Эту же задачу можно выполнить графическим способом. Для этого нужно: 1) построить график данной функции; x y –7 3,53,5 2) отметить на оси абсцисс значение 2; –3–3 2 3) получить на графике точку с отмеченной абсциссой 2; 4) найти ординату полученной в п.3 точки. Для любой другой функции задача нахождения значения функции по заданному значению аргумента решается аналогично.

А теперь вспомним, как решается обратная задача по нахождению значения аргумента при заданном значении функции. В нашем примере с линейной функцией y =2 x –7 это происходит по следующему алгоритму: в формулу, задающую данную функцию подставляют заданное значение функции и решают полученное уравнение с переменной х. Например, при у =–5 2 x –7=–5 х =1. Эту же задачу можно выполнить графическим способом. Для этого нужно: 1) построить график данной функции; 2) отметить на оси ординат значение –5; 3) получить на графике точку с отмеченной ординатой –5; 4) найти абсциссу полученной в п.3 точки. x –7 3,53,5 –5–5 Для любой другой функции задача нахождения значения аргумента по заданному значению функции решается аналогично. y 1

Однако, при решении обратной задачи можно поступить по-другому. Для этого составляют обратную зависимость, считая заданное значение данной функции аргументом этой зависимости. Сделать это можно двумя способами: 1)Выразить из формулы данной функции х через у. В нашем случае: y =2 x –7 2 х = у +7 х =0,5 у +3,5. А теперь записать эту зависимость, как новую функцию, в привычном для нас виде: у =0,5 х +3,5. Или 2)Поменять в формуле данной функции х и у. В нашем случае: y =2 x –7 х =2 у –7. А теперь записать эту зависимость, как новую функцию, в привычном для нас виде, выразив у через х : 2 у = х +7 у =0,5 х +3,5. 2 –3 y =2 x –7 –5–5 1

Таким образом, мы получили обратную для функции y =2 x –7 зависимость, которая является в свою очередь также функцией у =0,5 х +3,5. С помощью обратной функции мы можем решать обратную задачу по нахождению значения аргумента при заданном значении данной функции. Только для обратной функции это заданное значение функции является аргументом! Значит, для у = х =–5 у =0,5 (–5)+3,5=1. Примечание 1. Если для данной функции можно составить обратную зависимость, являющуюся также функцией, то говорят, что данная функция обратима и обратная зависимость является обратной функцией. Примечание 2. Если функция y = f ( x ) является обратимой и y = g ( x ) – обратная для неё функция, то: 1) D ( f )= E ( g ) и E ( f )= D ( g );2) f ( g ( х ))= g ( f ( х ))= x. Примечание 3. Графики данной и обратной для неё функций симметричны относительно прямой у = х.

В рассмотренном нами случае: f ( x )=2 x –7 и g ( x )=0,5 у +3,5 – обратные функции x y f(x)=2x–7 g(x)=0,5x+3,5 y=x

Чтобы обратная для данной функции зависимость была также функцией необходимо и достаточно, чтобы каждое свое значение функция принимала только при одном значении аргумента. Значит, чтобы функция была обратимой, данная функция должна быть монотонно возрастающей или монотонно убывающей на всей своей области определения. Пример 1. Функция y = x 2 не является обратимой на D(y)=, т.к. при х =3 или –3 функция принимает одно и то же значение 9, а значит, обратная зависимость функцией не является. Однако, на области х [0; + ) данная функция обратима и обратной для неё является знакомая Вам функция x y y=xy=x 3 –3–3 9 D(y) E(y) D(y) E(y)

Пример 2. Любая степенная функция с нечетным натуральным показателем является обратимой (проверьте самостоятельно). 0 x y y=xy=x

Пример 3. Рассмотрим тригонометрическую функцию. Постарайтесь самостоятельно ответить на вопросы: 1) является ли данная функция обратимой на своей области определения? 2) на какой области данная функция обратима? 3) назовите обратную на этой области функцию; 4) постройте графики обеих функций. Ответ: 1) нет; 2) ; 3) ; 4) см.рис.. y y=sinx x 1 1 y=arcsinx y=x

Рассмотрим теперь показательную функцию y=a x, которую Вы изучили. Так как эта функция является монотонной, в зависимости от основания степени a – монотонно возрастающей или монотонно убывающей (вспомните соответствующие условия этого), то она обратима на всей своей области определения. Составим обратную функцию описанным выше методом: Теперь перед нами встает проблема выражения из последнего равенства переменной y ( показателя степени, в который возводится положительное число a ) через x, чтобы получить привычную формулу зависимости. Это делается с помощью нового понятия – логарифма числа по основанию a : Читают так: «логарифм икс по основанию а ». Определение. Логарифмом числа x по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число x. Число a называется основанием логарифма, число x называют подлогарифмическим выражением.

Пример., т.к. 3 2 =9;. Примечание 3. Т.к. основание показательной функции y = a x число a >0, a 1, то основание логарифма обладает такими же свойствами. Примечание 4. Функция, заданная формулой y=log a x, где a >0, a 1 называется логарифмической функцией. А теперь постарайтесь ответить на вопрос: в какую степень нужно возвести число 3, чтобы результатом этой степени получилось число 10? 3 = 10 ? Примечание 1. Если основанием логарифма является число 10, то такой логарифм называется десятичным и обозначается lg. Пример: Примечание 2. Если основанием логарифма является число e, то такой логарифм называется натуральным и обозначается ln. Пример:

y x 1 01 y=a x, a>1 y=a x, 0

Некоторые полезные свойства логарифмов: - основное логарифмическое тождество - формула перехода к новому основанию