Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя школа 30 Выполнила: Выполнила: ученица 11 «Д» класса ученица 11 «Д» класса Воронина Наталья Воронина Наталья Руководители: Крагель Т.П., Гремяченская Т.В. Руководители: Крагель Т.П., Гремяченская Т.В г г. г. Старый Оскол

Содержание: 1. Функция, её график и свойства 2. Графики функций и 3. Построение графика квадратичной функции

ФУНКЦИЯ ЕЕ ГРАФИК И СВОЙСТВА Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида, где x - независимая переменная, a, b и c - некоторые числа, причем. Примером квадратичной функции является зависимость пути от времени при равноускоренном движении. Если тело движется с ускорением а и к началу отсчета времени t прошло путь м, имея в этот момент скорость м/с, то зависимость пройденного пути s (в метрах) от времени t (в секундах) выражается формулой: Если, например, a= 6, то формула примет вид:

Изучение квадратичной функции мы начнем с частного случая - функции. При а = 1 формула принимает вид. С этой функцией мы уже встречались. Графиком этой функции является парабола. Построим график функции. Составим таблицу значений этой функции: Построим точки, координаты которых указаны в таблице. Соединив их плавной линией, получим график функции.

При любом значение функции больше соответствующего значения функции в 2 раза. Если переместить каждую точку графика функции вверх так, чтобы расстояние от этой точки до оси х увеличилось в 2 раза, то она перейдет в точку графика функции, при этом каждая точка этого графика может быть получена из некоторой точки графика функции. Иными словами, график функции можно получить из параболы растяжением от оси х в 2 раза.

Построим теперь график функции. Для этого составим таблицу ее значений: Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их плавной линией, получим график функции :

При любом значение функции меньше соответствующего значения функции в 2 раза. Если переместить каждую точку графика функции вниз так, чтобы расстояние от этой точки до оси х уменьшилось в 2 раза, то она перейдет в точку графика функции причем каждая точка этого графика может быть получена из некоторой точки графика функции. Таким образом, график функции можно получить из параболы сжатием к оси х в 2 раза.

Вообще график функции можно получить из параболы растяжением от оси х в а раз, если а>1, и сжатием к оси х в раз, если 0< а

График функции может быть получен из графика функции с помощью симметрии относительно оси х.

Свойства функции при а>0. 1. Если x=0, то y=0. График функции проходит через начало координат. 2. Если, то y>0. График функции расположен в верхней полуплоскости. 3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси у. 4. Функция убывает в промежутке и возрастает в промежутке. 5. Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток.

Свойства функции при а

ГРАФИКИ ФУНКЦИИ И График функции y=f (x)+n можно получить из графика функции y=f (x) с помощью параллельного переноса вдоль оси у на п единиц вверх, если n>0, или на - п единиц вниз, если n0, или на - т единиц влево, если m

Пример 1. Выясним, что представляет собой график функции. С этой целью в одной системе координат построим графики функций и. Составим таблицу значений функции : (1) График функции изображен на рисунке:

Чтобы получить таблицу значений функции для тех же значений аргумента, достаточно к найденным значениям функции прибавить 3: (2) Получим график функции, который изображен на рисунке:

График функции - парабола, полученная в результате сдвига вверх графика функции. Вообще график функции является параболой, которую можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси у на п единиц вверх, если n>0, или на - п единиц вниз, если n

Пример 2. Рассмотрим теперь функцию и выясним, что представляет собой ее график. Для этого в одной системе координат построим графики функций и. Для построения графика функции воспользуемся таблицей (1). Составим теперь таблицу значений функции. При этом в качестве значений аргумента выбе­рем те, которые на 5 больше соответствующих значений аргумента в таблице (1). Тогда соответствующие им значения функции будут те же, которые записаны во второй строке таблицы (1): (3)

График функции - парабола, полученная в результате сдвига вправо графика функции. Вообще график функции является параболой, которую можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси х на т единиц вправо, если m>0, или на - т единиц влево, если m

Вообще график функции является параболой, которую можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси х на т единиц вправо, если m>0, или на - т единиц влево, если m0, или на - п единиц вниз, если n

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ Рассмотрим квадратичную функцию. Выделим из трехчлена квадрат двучлена: Отсюда Мы получили формулу вида, где Значит, график функции есть парабола, которую можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси х и сдвига вдоль оси у.

Отсюда следует, что график функции есть парабола, вершиной которой является точка (m;n), где Осью симметрии параболы служит прямая x=m параллельная оси у. При a>0 ветви параболы направлены вверх, при a

Пример 1. Построим график функции Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты m и n вершины этой параболы: Значит, вершиной параболы является точка (-3; -4). Составим таблицу значений функции: Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их плавной линией, получим график функции.

При составлении таблицы и построении графика учитывалось, что прямая является осью симметрии параболы. Поэтому мы брали точки с абсциссами - 4 и -2, -5 и -1, -6 и 0, симметричные относительно прямой (эти точки имеют одинаковые ординаты). Пример 2. Построим график функции Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины:

Вычислив координаты еще нескольких точек, по­лучим таблицу: Соединив плавной линией точки, координаты которых указаны в таблице, получим график функции : Пример 3. Построим график функции. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины:

Вычислив координаты еще нескольких точек, получим таблицу: График функции изображен на рисунке: