ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ ПО ЗАМКНУТОЙ ЛИНИИ Выполнили : Кузнецов Алексей, Быкова Наталья, ученики 10 класса Руководители : Соколова В. А., учитель математики, Попова И. А., учитель физики ГОРОДСКОЙ КОНКУРС НАУЧНО - ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ УЧАЩИХСЯ « ПЕРВЫЕ ШАГИ » Белово 2011

Актуальность : Задание В 12 из ЕГЭ включает в себя практически все типы текстовых задач, среди них - задания на движение по окружности ; В литературе отсутствуют универсальные рекомендации к решению задач на движение по окружности

Новизна : обобщение полученных знаний и опыта в решении задач на движение по окружности с учетом математических и физических методов, терминологии и формул ; составление алгоритма решения для основных сюжетных вариантов.

Цель : оптимизация процесса решения текстовых задач на движение по замкнутой линии на основе сопоставления различных подходов и методов решения

Задачи : 1. Исследовать большое количество текстовых задач на движение по замкнутой линии из материалов ЕГЭ, олимпиад различного уровня ; 2. Исследовать задачи на движение по окружности из курса физики ; 3. Сопоставить математические и физические методы решения задач, выявить аналогию решения ; 4. Составить алгоритм решения для решения текстовых задач на движение по замкнутой линии.

Некоторые задачи из курса математики Задача 1. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км / ч. vts велосипедистx мотоциклистy В задаче используются величины, связанные с расстоянием ; с точки зрения физики – линейные величины ( линейная скорость, длина окружности )

Некоторые задачи из курса математики и физики Задача 2. Через какое время, начиная с 8.00 утра, минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой ? Задача 3. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 16 км, в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км / ч и через 40 минут после старта, он опережает второй автомобиль ровно на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Задача 7. С какой частотой вращается тело по окружности, если за любые 2 с тело совершает три полных оборота ? В задаче используются величины, связанные со временем ; с точки зрения физики – период ( частота )

Некоторые задачи из курса математики и физики Задача 4. По двум концентрическим окружностям равномерно вращаются две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее, чем другая, и поэтому за 1 мин успевает сделать на два оборота больше. Считая, что в начале движения точки находились на одном луче, выходящем из центра окружностей, вычислить величину угла между этими точками через 1 с. Задача 8. Во сколько раз угловая скорость минутной стрелки часов больше угловой скорости часовой стрелки ? В задаче используются величины, связанные с углами ; с точки зрения физики – угловые величины ( угол поворота, угловая скорость )

3 типа задач I.В задаче используются величины, связанные с расстоянием ; с точки зрения физики – линейные величины ( линейная скорость, длина окружности ); II.В задаче используются величины, связанные со временем ; с точки зрения физики – период ( частота ); III.В задаче используются величины, связанные с углами ; с точки зрения физики – угловые величины ( угол поворота, угловая скорость );

Рекомендации к решению Условие, применяемое ко всем типам задач : Если в задаче движутся 2 объекта, то следует учитывать скорость сближения или удаления ( с точки зрения физики – « относительную скорость »). Величина vts В одном направлении S В противоположных направлении

Рекомендации к решению (I тип ) Если в задаче используются величины, связанные с расстоянием ; с точки зрения физики – линейные величины ( линейная скорость, длина окружности ), то задачу можно свести к движению по прямой.

Рекомендации к решению (III тип ) Если в задаче используются величины, связанные с углами ( физически – угловые величины : угол поворота, угловая скорость ), то длину окружности можно задать как часть круга :

Рекомендации к решению (II тип ) Если в задаче используются величины, связанные со временем ( с точки зрения физики – период или частота ), то необходимо учитывать длину окружности.

Помогут ли наши рекомендации ? Задача 10. Леша, Лена и Юля, стартовав одновременно на 250 – метровой трассе, имеющей форму окружности, бегут в одном направлении. Леша догнал Лену, делая свой третий круг на расстоянии от места старта, а через 20 минут он в третий раз обогнал Юлю. Лена догнала Юлю через полчаса после старта. Найдите скорости школьников. В задаче используются величины, связанные с расстоянием ; с точки зрения физики – линейные величины ( линейная скорость, длина окружности ) – I тип В задаче используются величины, связанные со временем ; с точки зрения физики – период ( частота ) – II тип

Решение будем строить на основании рекомендаций по каждому типу Образец Леша - Лена Леша - Юля Лена - Юля

Решение будем строить на основании рекомендаций по каждому типу Леша догнал Лену, делая свой третий круг на расстоянии ¼ от места старта через 20 минут Леша в третий раз обогнал Юлю Лена догнала Юлю через полчаса после старта

Величины T 1, T 2, T 3 выражены в таблицах дважды

Решение системы : Полученные данные были проверены на практике и получили подтверждение.

С помощью составленных таблиц и рекомендация мы быстрее смогли выявить связи между величинами и составить уравнения. Помогли ли наши рекомендации ?

Заключение Математические и физические методы, используя различную терминологию, при составлении уравнений сводится к одним и тем же смысловым выражениям : линейная скорость, длина окружности, период обращения, частота обращения, угловая скорость и т. д.; При движении нескольких объектов необходимо учитывать скорость сближения или удаления ( с точки зрения физики – « относительную скорость »);

Заключение : 3 типа задач I. В задаче используются величины, связанные с расстоянием ; с точки зрения физики – линейные величины ( линейная скорость, длина окружности ); II. В задаче используются величины, связанные со временем ; с точки зрения физики – период ( частота ); III. В задаче используются величины, связанные с углами ; с точки зрения физики – угловые величины ( угол поворота, угловая скорость );

Заключение : таблицы связи величин Занесите в таблицу известные величины, а остальные найдите по формулам: Величина v t s В одном направлении s В противоположных направлении s

Заключение : таблицы связи величин 1. Если в задаче используются величины, связанные с расстоянием ; с точки зрения физики – линейные величины ( линейная скорость, длина окружности ), то задачу можно свести к движению по прямой. Величина v t s Формула Занесите в таблицу известные величины, а остальные найдите по формулам:

Рекомендации по решению задач на движение по замкнутой линии 2. Если в задаче используются величины, связанные со временем ( с точки зрения физики – период или частота ), то необходимо учитывать длину окружности. Величина v t s Формула Формулы для определения величин запишем следующим образом :

Рекомендации по решению задач на движение по замкнутой линии 3. Если в задаче используются величины, связанные с углами ( физически – угловые величины : угол поворота, угловая скорость ), то длину окружности можно задать как часть круга : – пройденное расстояние измеряют в угловых ( дуговых ) градусах ( градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла ), – а угловую скорость в градусах за единицу времени ( возможно, также в числе оборотов за единицу времени ; один оборот равен 3600). – Формулы для определения величин запишем следующим образом : Величина ω t Формула, где N – число оборотов

Заключение Практическое применение таблиц для составления уравнений подтверждает целесообразность их применения. Оптимизация процесса решения текстовых задач на движение по замкнутой линии представлена нами в виде рекомендаций к решению задач на движение по замкнутой линии

Литература Блинков А. Д., Горская Е. С., Гуровиц В. М. Московские математические регаты. – М. « МЦНМО » г., с.; Воронов И. Н., Дорошенко Н. К. Экзаменационные задачи по физике для поступающих в СибГИУ : Учебное пособие. СибГИУ. – Новокузнецк, 2001 г., 200 с.; Кабардин О. Ф., Орлов В. А., Эвенчик Э. Е., Шамаш С. Я., Пинский А. А., Кабардина С. И., Дик Ю. И., Никифоров Г. Г., Шефер Н. И. Физика. 10 класс, М.: « Просвещение », 2007 г.; Открытый банк задач ЕГЭ по математике. Летопись МИФИ [ Электронный ресурс ] / Цыпкин А. Г., Пинский А. И. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. – М. Наука. Главная редакция физико - математической литературы г., с.;