Тема: «Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли» Проект Гузь Ольги

Содержание. 1.Определение функции заданной неявно. 2.Определение лемнискаты. 3.Вывод уравнения лемнискаты. 4.Преобразование уравнения лемнискаты. 5.Уравнение лемнискаты в полярной системе координат. 6.Исследование уравнения лемнискаты. 7.Построение лемнискаты. 8. Применение лемнискаты. 9.Краткая историческая справка.

Определение неявно заданной функции Рассмотрим функцию, заданную неявно уравнением F(x,y)=0. В зависимости от того, какой является функция F(x,y)-алгебраической или трансцендентной,- кривые также делятся на алгебраические и трансцендентные. Примеры, лемниската Бернулли.

Лемниската – это кривая, у которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданных точек- фокусов -постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними.

Пусть фокусы имеют координаты: F 1 (-a;0) и F 2 (а;0); М(х, у) - произвольная точка геометрического места, то по условию Подставляя в это равенство выражения получим искомое уравнение данного геометрического места

Дальнейшая цель- получить уравнение лемнискаты Бернулли в более простом виде. Возводя в квадрат обе части уравнения и группируя члены, находим отсюда

Преобразуя последнее уравнение, имеем: или в окончательном виде Мы получили уравнение лемнискаты в декартовой системе координат.

Т.к х и у входят в это уравнение только в чётных степенях, то лемниската симметрична относительно координатных осей. Построить график данной функции затруднительно. Запишем это же уравнение в полярной системе координат.

Поскольку х =ρ cos φ, у = ρ sinφ, х 2 +у 2 = ρ 2, то уравнение лемнискаты в полярных координатах примет вид ρ 4 =2а 2 ρ(cos 2 φ- sin 2 φ) или ρ 2 =2а 2 cos2φ.

ρ 2 =2а 2 cos2φ Из этого уравнения видно, что при φ=0. Если φ увеличивается в пределах от 0 до, то ρ уменьшается от до ρ=0. Если, то ρ принимает мнимые значения. Это означает, что на лемнискате нет точек, для которых φ меняется в указанных пределах.

Построим график функции при разных значениях а: при а=1

при а=-0,5

При построении кривых семейства овалов Кассини, промежуточным графиком является лемниската Бернулли Фигура выпуклая как эллипс. 2.Появляется вогнутая перемычка с четырьмя точками перегиба. 3.Перемычка смыкается, полученная фигура называется лемнискатой Бернулли. 4.Фигура разваливается на два овала.

В технике лемниската применяется, в частности, в качестве переходной кривой на закруглениях малого радиуса, как это имеет место на железнодорожных линиях в горной местности и на трамвайных путях.

Существует два способа построения лемнискаты. Первый способ - с помощью двух угольников и нарисованной на листе бумаги окружности (рис.2).Вершина острого угла одного из угольников находится в центре окружности, вершина прямого угла другого -на окружности. Существует два способа построения лемнискаты. Первый способ - с помощью двух угольников и нарисованной на листе бумаги окружности (рис.2).Вершина острого угла одного из угольников находится в центре окружности, вершина прямого угла другого -на окружности. Рис.2

Второй способ - с помощью шарнирного устройства, две точки которого закреплены на плоскости (рис.3). Второй способ - с помощью шарнирного устройства, две точки которого закреплены на плоскости (рис.3). Рис.3

Лемниската Бернулли. Ее автор – швейцарский математик Якоб Бернулли. Он дал этой кривой поэтическое название «лемниската». В античном Риме так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Лемниската Бернулли. Ее автор – швейцарский математик Якоб Бернулли. Он дал этой кривой поэтическое название «лемниската». В античном Риме так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх.

БЕРНУЛЛИ Якоб I ( ). Швейцарский математик. Работал в Базельском университете. Работы посвящены математическому анализу, теории вероятностей и механике. В 1687 познакомился с первым мемуаром Лейбница по дифференциальному исчислению и применил его идеи к изучению ряда кривых, встречающихся в математике, механике, и выводу формулы радиуса кривизны плоской кривой. Ввел термин «интеграл».

Вирченко Н.А. и др.Справочник «Графики функций»; Киев: Наук. думка, 1979г; И.И.Валуцэ «Математика для техникумов»; Москва, Издательство «Наука», 1980г; Маркушевич А.И. «Замечательные кривые»; Москва 1978 г. Вирченко Н.А. и др.Справочник «Графики функций»; Киев: Наук. думка, 1979г; И.И.Валуцэ «Математика для техникумов»; Москва, Издательство «Наука», 1980г; Маркушевич А.И. «Замечательные кривые»; Москва 1978 г.

Internet-ресурсы: Программное обеспечение: MS Word; MS Power Point ; Windows Media; Nero Wave Editor; Сканер. Internet-ресурсы: Программное обеспечение: MS Word; MS Power Point ; Windows Media; Nero Wave Editor; Сканер.