Объём пирамиды Объём пирамиды. Геометрия, 11 класс. 11 класс. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду SABC с высотой SO= H. A B C S O H O1O1 h Построим сечение пирамиды, параллельное плоскости основания и находящееся на расстоянии h от её вершины. Т.к. ABC A 1 B 1 C 1, то по свойству площадей подобных фигур : A1A1 C1C1 B1B1 h [0; H ] Т.к. h – изменяющаяся величина, то площадь сечения можно рассматривать как функцию от переменной h, где h – расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания.

h H Используя понятие бесконечной интегральной суммы, объем данной пирамиды можно получить как бесконечную сумму площадей таких сечений, построенных вдоль высоты. h [0; H ]

На основании предыдущих рассуждений можно сделать вывод о том, что пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами, имеют равные объемы. H S осн.1 = S осн.2 V 1 = V 2 h S сеч.1 = S сеч.2

A B C B1B1 A1A1 C1C1 C A1A1 B Рассмотрим произвольную треугольную призму ABCA 1 B 1 C 1. 1)Разобьем её на две части секущей плоскостью (A 1 BC). 2)Получились две пространственные фигуры: треугольная пирамида A 1 ABC и четырехугольная пирамида A 1 BCC 1 B 1 (обе пирамиды с вершиной A 1 ).

AC B1B1 A1A1 C1C1 C A1A1 BB Теперь разобьём четырёхугольную пирамиду A 1 BCC 1 B 1 секущей плоскостью (A 1 C 1 B) на две треугольные пирамиды: A 1 BB 1 C 1 и A 1 BCC 1 (обе пирамиды с вершиной A 1 ). A1A1 C1C1 B

A C B1B1 A1A1 C1C1 C A1A1 B B A1A1 C1C1 B У треугольных пирамид A 1 ABC и BA 1 B 1 C 1 основания равны (как противоположные основания призмы) и их высотами является высота призмы. Значит, их объемы также равны. У треугольных пирамид A 1 BB 1 C 1 и A 1 BCC 1 основания равны (объясните самостоятельно) и у них общая высота, проведенная из вершины A 1. Значит, их объемы также равны.

A C B1B1 A1A1 C1C1 C A1A1 B B A1A1 C1C1 B Тогда, по свойству транзитивности, объемы всех трех пирамид равны: Значит, объем пирамиды в три раза меньше объема призмы с такими же основанием и высотой, т.е.

h H h Эту же формулу можно было получить непосредственным интегрированием площади сечения, как функции, зависящей от расстояния h : h [0; H ] 0

Рассматривая произвольную n -угольную пирамиду SA 1 A 2 …A n как сумму треугольных пирамид с общей вершиной и высотой, получим формулу для нахождения объема любой пирамиды: S A3A3 AnAn A2A2 A1A1 H

Итак, для любой n -угольной пирамиды:,где S осн. – площадь основания пирамиды, H – высота пирамиды.