Лекция 4. Тема: «Дифференциал и интеграл» Специальность: «Сестринское дело» Курс: 2 Дисциплина: «Математика» Подготовила: преподаватель высшей категории Фёдорова Олеся Николаевна Калуга 2010 год

Функция. Предел функции Функцией называется соответствие при котором каждому значению x из некоторого множества D (D R) сопоставляется по некоторому правилу единственное число y, зависящее от x y= f(x) x – аргумент функции (независимая переменная) y – значение функции f (зависимая переменная) D – область определения функции D (f) – все значения x Все значения y – область значений функции f, E (f)

Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x; y), где x пробегает всю область определения функции f Способы задания функции 1. Аналитический (рекуррентный) – формула 2. Графический – график функции 3. Табличный – таблица зависимости x и y

Рассмотрим интервал с центром в точке x 0 и радиусом r Окрестностью точки x 0 радиуса r называется интервал с центром в точке x 0 радиуса r, (x 0 ) Если рассматривается окрестность без самой точки x 0, то она называется проколотой (x 0 )

Предел функции Число A называется пределом функции f(x) в точке x 0, если для любого числа, существует окрестность, такая, что выполняется неравенство f(x)-A, для любого x из окрестности (x 0 ) f(x)-A A f(x) A+

Теоремы о пределах Теорема о единственности предела: если предел функции существует, то он единственный (число A) Теорема о пределе суммы: если существуют пределы функций f(x) и g(x), то существует предел их суммы равный сумме пределов функций f(x) и g(x)

Теорема о пределе произведения: если существуют пределы функций f(x) и g(x), то существует предел их произведения равный произведению пределов функций f(x) и g(x) Теорема о пределе частного: если существуют пределы функций f(x) и g(x) и предел функции g(x) не равен нулю, то существует предел их частного равный частному пределов функций f(x) и g(x)

Следствия из теорем Следствие 1: постоянный множитель можно вынести за знак предела Следствие 2: если n натуральное число, то

Следствие 3: предел многочлена равен значению многочлена в точке x 0 при Следствие 4: предел дробно –рациональной функции равен значению этой функции в точке x 0 при если x принадлежит области определения функции

Пример:

Производная функции и дифференциал Производная функции – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращения аргумента стремится к нулю

Свойства производной Теорема: производная суммы, произведения, частного вычисляются по следующим формулам:

Производная сложной функции: Пример:

Таблица производных

Дифференциал функции Нахождение производной называется дифференцированием Дифференциал – это произведение производной функции на приращение аргумента функции y = f(x) dy = f'(x) x Рассмотрим функцию y = x, тогда y'= 1 dx = x dy = f'(x)dx (отношение дифференциалов)

Свойства дифференциала 1. Дифференциал функции – это главная часть её приращения 2. Дифференциал функции – это линейная функция приращения аргумента или касательная к графику функции геометрически dy = f'(x)dx - уравнение касательной в системе координат (dx; dy)

Вычисление дифференциала функции Пример.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям Для функции y=f(x) и точки x 0 можно приближенно вычислить значение функции в точке x близкой к x 0, если знать приращение функции y на [x 0 ; x], то точное значение функции f(x) = y 0 + y, где y 0 значение функции в точке x 0 Приближенные формулы основаны на замене приращения функции y её дифференциалом dy y = f(x) - y 0 f(x) - y 0 f '(x 0 ) x f(x) y 0 + dy y 0 + f '(x 0 )(x – x 0 )

Для y = x n ( x 0 + x ) n x 0 n + nx 0 n-1 x Пример:

Первообразная функции и интеграл 1. Первообразная и неопределенный интеграл 2. Свойства неопределенного интеграла 3. Таблица первообразных 4. Методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, интегрирование по частям 5. Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница 6. Применение определенного интеграла: вычисление площади фигуры, длины дуги, объема тела 7. Дифференциальные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными