ГОУ СПО «Димитровградский технический колледж» Тема: Призма и ее свойства Автор: Тихонов Никита Евгеньевич Автор: Тихонов Никита Евгеньевич Руководитель: Кузьмина В. В. Руководитель: Кузьмина В. В г.

Содержание Историческая справка Историческая справка Призма и ее свойства Призма и ее свойства Решение задач Решение задач Задачи для самостоятельной работы Задачи для самостоятельной работы Литература Литература

Еще в древности существовали два пути определения геометрических понятий. Первый вел от фигур высшего порядка к фигурам низшего. Такой точки зрения придерживался, в частности, Евклид, определяющий поверхность как границу тела, линию – как границу поверхности, концы же линии – как точки.

Второй путь ведет, наоборот, от фигур низшего измерения к фигурам высшего: движением точки образуется линия, аналогично из линий составляется поверхность и т. д. Одним из первых, который соединил обе эти точки зрения, был Герон Александрийский, писавший, что тело ограничивается поверхностью и вместе с этим может быть рассмотрено как образованное движением поверхности. Одним из первых, который соединил обе эти точки зрения, был Герон Александрийский, писавший, что тело ограничивается поверхностью и вместе с этим может быть рассмотрено как образованное движением поверхности.

В появившихся позже на протяжении веков учебниках геометрии принималась за основу то одна, то другая, а иногда и обе вместе точки зрения.

Евклид употребляет термин «плоскость» как в широком смысле (Рассматривая ее неограниченно продолженной во все направления), так и в смысле конечной, ограниченной ее части, в частности грани, аналогично применению им термина «прямая» ( в широком смысле - бесконечная прямая и в узком – отрезок).

В XVIII в. Тейлор дал такое определение призмы: это многогранник, у которого все грани, кроме двух, параллельны одной прямой. В XVIII в. Тейлор дал такое определение призмы: это многогранник, у которого все грани, кроме двух, параллельны одной прямой.

В настоящее время геометрия тесно переплетается со многими другими разделами математики. Одним из источников развития и образования новых понятий в геометрии, как и в других областях математики, являются современные задачи естествознания, физики и техники.

Термин призма греческого происхождения и буквально означает отпиленное

Призма Призма – это тело, ограниченное многогранной поверхностью, две грани которой n – угольники, а остальные n – параллелограммы. Призма – это тело, ограниченное многогранной поверхностью, две грани которой n – угольники, а остальные n – параллелограммы.

Рассмотрим два равных многоугольника и, расположенных в параллельных плоскостях и так, что отрезки,,...,, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1). nn BА 22 ВА 1 1 В А n BBB n ААА 21 1.рис

Каждый из n четырехугольников Каждый из n четырехугольников является параллелограммов, так как имеет попарно параллельные противоположные стороны. Например, в четырехугольнике стороны и параллельны по условию, а стороны и - по свойству параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью (рис. 2). nn ВВААВВААВВАА ,...,, 1221 ВВАА 22 ВА 21 ВВ 11 ВА 21 АА )2.(рис

Многоугольники и называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями. Отрезки, называются боковыми ребрами призмы. Призму с основаниями и n - угольной призмой. ( рис. 3) n ААА n BBB 21 nn BАВА,..., ВА n BBB n ААА 21

Призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники. На рисунке 4 изображена правильная шестиугольная призма. ( рис. 4 )

Поверхность призмы, таким образом, состоит из двух равных многоугольников (оснований) и параллелограммов (боковых граней). Различают призмы треугольные, Поверхность призмы, таким образом, состоит из двух равных многоугольников (оснований) и параллелограммов (боковых граней). Различают призмы треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д., в зависимости от числа вершин основания.

Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников. Площадь поверхности многогранника есть сумма площадей всех его граней. Площадь поверхности призм ( ) равна сумме площадей ее боковых граней (площади боковой поверхности) ( ) и площадей двух оснований () - равных многоугольников: Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников. Площадь поверхности многогранника есть сумма площадей всех его граней. Площадь поверхности призм ( ) равна сумме площадей ее боковых граней (площади боковой поверхности) ( ) и площадей двух оснований ( 2Sосн ) - равных многоугольников: пр S бок S оснбокпр SSS2

Площадь поверхности призмы Теорема. Площадь поверхности призмы равна удвоенной площади основания, сложенной с произведением длины бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения этой призмы. Теорема. Площадь поверхности призмы равна удвоенной площади основания, сложенной с произведением длины бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения этой призмы.

Боковые грани прямой призмы – прямоугольники, основания которых – стороны призмы, а высоты равны высоте h призмы. Боковые грани прямой призмы – прямоугольники, основания которых – стороны призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р. Итак, Sбок=Рh. Итак, Sбок=Рh. Теорема доказана. Теорема доказана.

Задача на нахождение S полн призмы. Вычислить площадь полной поверхности, если высота равна 12см, сторон основания равна 7см. Вычислить площадь полной поверхности, если высота равна 12см, сторон основания равна 7см. Дано: ABCA 1 B 1 C 1 - правильная треугольная призма; высота; Н=12см; Дано: ABCA 1 B 1 C 1 - правильная треугольная призма; высота; Н=12см; АС=7см АС=7см Найти: S полн. Найти: S полн.

Решение: Ответ: ) 2 179,9(см16811,9 полн S )(168 2 смS бок ) 2 179,9(см16811,9 полн S )( 2 cм 95, S осн S бокоснполн SSS 2 НРS оснбок

Дано: - правильная призма, =8 см, =6 см Найти: Решение: 1) Т.к. призма правильная, то 2) Отсюда: ( рис. 5) смFCAACA CKBAS CBA смKACACK cмS CBA CBCA 11 ? 11 CBA S 1 АА АВ 111 CBABCA

Дано: - правильный Доказать: а) б) - прямоугольник Доказательство: 1) Т.к., то АН - биссектриса - равносторонний, значит по свойству биссектрисы и, значит ( рис. 6) ABAACA 11 САВ ВСАН АВС 1)( ААпрАН АВС ВСАН СВАА 1 11 BBCC 1 AABC призмаCBABCA 111 ABC

(определение призмы) (определение призмы) и значит - прямоугольник CВСССВАА 11, 11 СВВВ 11 ВВСС 111 || ВВССАА

Докажите, что: Докажите, что: а) у прямой призмы все боковые грани – прямоугольники; а) у прямой призмы все боковые грани – прямоугольники; б) у правильной призмы все боковые грани – равные прямоугольники. б) у правильной призмы все боковые грани – равные прямоугольники. Сторона правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдете площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Основаниями прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двухгранные углы при боковых ребрах призмы. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол 30`. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Дадаян А. А. Математика: Учебник - М.: ИНФРА - М, 2006 Дадаян А. А. Математика: Учебник - М.: ИНФРА - М, 2006 Геометрия ; Учеб. Для общеобразовательных учреждений под ред. А. Н. Тихонова - М.: Просвещение, 2001 Геометрия ; Учеб. Для общеобразовательных учреждений под ред. А. Н. Тихонова - М.: Просвещение, 2001 Internet ресурсы: Internet ресурсы: