Логические законы Логические законы и правила преобразования логических выражений

Равносильность Логические выражения называются равносильными, если их истинностные значения совпадают при любых значениях, входящих в них логических переменных. В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы.

Аналоги математических законов 1. Закон двойного отрицания: А = A Двойное отрицание исключает отрицание. 2. Переместительный (коммутативный) закон: для логического сложения: А v B = B v A; для логического умножения: A&B = B&A. Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания. В обычной алгебре a + b = b + a, a x b = b x a.

Аналоги математических законов 3. Сочетательный (ассоциативный) закон: для логического сложения: (A v B) v C = A v (B v C); для логического умножения: (A&B)&C = A&(B&C). При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать. В обычной алгебре: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c, а x (b x c) = a x (b x c) = a x b x c.

Аналоги математических законов 4. Распределительный (дистрибутивный) закон: для логического сложения: (A v B)&C = (A&C) v (B&C); для логического умножения: (A&B) v C = (A v C)&(B v C). Определяет правило выноса общего высказывания за скобку. В обычной алгебре: (a + b) x c = a x c + b x c.

Законы де Моргана 5. Закон общей инверсии (законы де Моргана): для логического сложения ` А v B = A & B ; для логического умножения: А & B = A v B 6. Закон идемпотентности ( от латинских слов idem тот же самый и potens сильный; дословно равносильный): для логического сложения: A v A = A; для логического умножения: A & A = A. Закон означает отсутствие показателей степени.

Законы констант: 7. Законы исключения констант: для логического сложения: A v 1 = 1, A v 0 = A; для логического умножения: A & 1 = A, A & 0 = Закон противоречия: A & A = 0. Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными. 9. Закон исключения третьего: A v A = 1. Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе ложно, третьего не дано.

Неочевидные законы: 10. Закон поглощения: для логического сложения: A v (A&B) = A; для логического умножения: A & (A v B) = A. 11. Закон исключения (склеивания): для логического сложения: (A&B) v ( A&B) = B; для логического умножения: (A v B)&( A v B) = B.

Задания для самостоятельного выполнения Какое тождество записано неверно: 1) X v X = 1; 2) X v X v X v X v X v X = 1; 3) X & X & X & X & X = X Определите, каким законам алгебры чисел (сочетательному; переместительному; распределительному; аналога нет) соответствуют следующие логические тождества: а) А v B = B v A; б) (A&B)&C = A&(B&C); в) А v (В&С) = (А v В)&(А v С); г) (A v B)&C = (A&C) v (B&C) Логическое выражение называется тождественно- ложным, если оно принимает значения 0 на всех наборах входящих в него простых высказываний. Упростите следующее выражение и покажите, что оно тождественно- ложное. (А&B&B ) v (A&A ) v (B&C&C ).

Задания для самостоятельного выполнения Логическое выражение называется тождественно- истинным, если оно принимает значения 1 на всех наборах входящих в него простых высказываний. Упростите следующее выражение и покажите, что оно тождественно-истинное. (А&B&C ) v (A&B&C) v (A&B) Упростите логические выражения. Правильность упрощения проверьте с помощью таблиц истинности для исходных и полученных логических формул. а) А v ( A&В); б) А&( Av В); в) (A v B)&( Bv A)&( CvB).