Автор: Семенова Елена Юрьевна МОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Пропорциональные отрезки Подобные фигуры Подобные треугольники Отношение площадей подобных треугольниковОтношение площадей подобных треугольников Свойство биссектрисы треугольникаСвойство биссектрисы треугольника Самостоятельная работа Первый признак подобия треугольниковПервый признак подобия треугольников Второй признак подобия треугольников Третий признак подобия треугольников

Отношением отрезков АВ и CD называется отношение их длин, т.е.. CD АВ Говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А 1 В 1 и C 1 D 1, если. А1В1А1В1 АВ C1D1C1D1 CD =

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. А = А 1 ; В = В 1 ; С = С 1 А1С1А1С1 = = = k А1В1А1В1 АВ В1С1В1С1 ВСАCАC А1А1 В1В1 С1С1 А С В (1) (2)

k – коэффициент подобия А = А 1 ; В = В 1 ; С = С 1 А1С1А1С1 = = = k А1В1А1В1 АВ В1С1В1С1 ВСАCАC АВС А 1 В 1 С 1 А1А1 В1В1 С1С1 А С В

Т.к. А = А 1, то по теореме об k – коэффициент подобия А1С1А1С1 = k; = k А1В1А1В1 АВАCАC АВС А 1 В 1 С 1 Дано: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Теоре ма Доказать: S АВС S А 1 В 1 С 1 = k2= k2 S АВС А1В1 А1С1А1В1 А1С1 = АВ АС Доказательство: отношении площадей треугольников S А 1 В 1 С 1 S АВС = k 2 По формуле (2)

AD – биссектриса АН – высота АВС Дано: Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Утвержде ние Доказать: BD AB = CD AC Н В А С D 1 2

Т.к. АВD и АСD имеют общую высоту AC = CD ВDВDAB AH, поэтому (1). S АСD S АВD CD = ВDВD Доказательство: углы ( 1 = 2), поэтому Доказать:. BD AB = CD AC Из равенств (1) и (2) получаем AC =. АВ ВDВDCD AC S АСD S АВD AВ AD AC AD = AВAВ (2). С другой стороны, эти же треугольники имеют равные Ч.т.д.

Вариант 1 Дано: АВС KMN; В = М; С = N; А = 30°; АС = 3см; MN = 4см; KN = 6см. Найти: а) ВС; К; б) в) отношение, в котором биссектриса угла С делит сторону АВ. S KMN S АВС Вариант 2 Дано: АВС PQR; В = Q; С = R; А = 40°; AB = 6см; PR = 4см; PQ = 3см. Найти: а) AС; P; б) в) отношение, в котором биссектриса угла P делит сторону RQ. S ABC S PQR

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Теоре ма АВС А 1 В 1 С 1 Дано: Доказать: А = А 1 ; В = В 1 АВС ; А 1 В 1 С 1 ; А1А1 В1В1 С1С1 А С В

Доказательство: По теореме о сумме углов треугольника Тогда по теореме об отношении площадей треугольников С = 180° ( А + В) С 1 = 180° ( А 1 + В 1 ) С = С 1 Таким образом, А = А 1 ; В = В 1 ; С = С 1. S А 1 В 1 С 1 S АВС А1В1 А1С1А1В1 А1С1 = АВ АС С1А1 С1В1С1А1 С1В1 = СА СВ из В1А1 В1С1В1А1 В1С1 = ВА ВС А1С1А1С1 = А1В1А1В1 АВ В1С1В1С1 ВСАCАC Ч.т.д.

А С В Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Теоре ма АВС А 1 В 1 С 1 Дано: Доказать: А = А 1 ; АВС ; А 1 В 1 С 1 ; А1А1 В1В1 С1С1 = А1В1А1В1 АВ А1С1А1С1 АСАС

А С В Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Теоре ма АВС А 1 В 1 С 1 Дано: Доказать: АВС ; А 1 В 1 С 1 ; А1А1 В1В1 С1С1 А1С1А1С1 = А1В1А1В1 АВ В1С1В1С1 ВСАCАC