Вычисление объемов пространственных тел с помощью интеграла. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Немного теории. Чтобы получить представление об общем методе вычисления объемов различных пространственных фигур, попробуем найти объем лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (призма, пирамида, шар, конус и т.д.), лимон не похож. Однако, мы можем поступить как все хозяйки – разрезать лимон на тонкие ломтики, размер которых зависит от расстояния x, причем x [0;H]. H x Тогда, по свойству объема, сумма объемов всех ломтиков даст нам объем всего лимона.

Немного теории. H x x С точки зрения геометрии мы построили сечения пространственной фигуры плоскостями, перпендикулярными оси фигуры; причем, если принять число разбиений бесконечно большим числом (n ), то: Проще говоря, при бесконечном числе разбиений каждый ломтик «вырождается» в плоское сечение и объем лимона равен бесконечной интегральной сумме площадей таких сечений, зависящих от расстояния x, т.е. где H – высота тела, а S сеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x [0;H]. S сеч.

Немного теории (базовые классы могут пропустить). H x x Если принять число разбиений бесконечно большим числом (n ), то: где H – высота тела, а S сеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x [0;H]. S сеч.

I. Объем прямоугольного параллелепипеда с высотой H и площадью основания S. x H x [0;H] 0 Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания. x

II. Объем прямой призмы с высотой H и площадью основания S. x x [0;H] H 0 Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания. x

III. Объем n-угольной прямой призмы с высотой H и площадью основания S. x x [0;H] H 0 Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания. x

IV. Объем наклонной призмы с высотой H и площадью основания S. Площадь сечения, перпендикулярного высоте, не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания. x H x [0;H] 0 x

V. Объем треугольной пирамиды с высотой H и площадью основания S. H x x [0;H] x Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных треугольников, т.е.: 0

VI. Объем n-угольной пирамиды с высотой H и площадью основания S. H x Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных n-угольников, т.е.: x x [0;H] 0

VII. Объем усеченной пирамиды. текст

VIII. Объем цилиндра с высотой H и площадью основания S. x x [0;H] H 0 x Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.

IX. Объем конуса с высотой H и площадью основания S. x x [0;H] H x Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных кругов, т.е.: 0

X. Объем усеченного конуса. текст

XI. Объем шара с радиусом R. Найдем объем полушария, как бесконечную интегральную сумму площадей сечения с радиусом r, где: R x Значит, объем всего шара равен: x 0 r

XII. Объем шарового сегмента. Вывод объема шарового сегмента с высотой h и радиусом основания r отличается от вывода объема полушария нижним пределом интегрирования. В данном случае он равен R – h : r R h x h r Обратите внимание, что в формуле объема шарового сегмента участвует радиус шара ( R ), а не радиус основания сегмента ( r )!

XIII. Объем шарового слоя. текст

XIV. Объем шарового сектора. текст h r R