Нормальное распределение : свойства и следствия из них

Нормальное распределение Центральная предельная теорема в применении к Ψ: Если индивидуальная изменчивость некоторого свойства есть следствие действия множества причин, то распределение частот для всего многообразия проявлений этого свойства в генеральной совокупности соответствует кривой нормального распределения

Закон нормального распределения Где: β среднеквадратичное отклонение (σ); α среднее (М); e, π - константы Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами α и β, если ее плотность вероятности имеет вид:

Свойства нормального распределения Правило 3 сигм (99,72% значений лежат в рамках M+/-3σ) Распределение симметрично (А=0), эксцесс (мера остроты пика) Е = 0 Мода, медиана и среднее совпадают Значения, лежащие на равном расстоянии от M (среднего), имеют равную частоту в выборке

Проверка распределения на «нормальность» Графический способ (QQ-plot); Статистический критерий Колмогорова- Смирнова (N>50 человек) ; W-критерий Шапиро-Уилка (8

Графический способ Определить эмпирические процентили (5%, 10%...); Посчитать теоретические процентили (через z-значения и оценки σ и Х ген.совокупности) Разместить значения как точки с координатами (эмпирический процентиль; теоретический процентиль) Точки должны лежать на прямой

Критерий асимметрии и эксцесса 1. Определить среднее арифметическое (М) и стандартное отклонение (σ). 2. Рассчитать показатели асимметрии и эксцесса. А= Е= Рассчитать критические значения А и Е А Е 4. Если А

Правило 3 сигм При нормальном распределении: M(+/-)σ=68,26% M(+/-)2σ=95,44% M(+/-)3σ=99,72%, M(+/-)3σ - интервал всех возможных значений

Стандартная шкала Стандартизация: перевод измерений в z-шкалу, т.е. шкалу со средним М=0 и σ=1 z i =(x i -M)/σ Все полученные z-значения выражаются в единицах стандартного отклонения Z-шкала используется при стандартизации тестов S i =σ s z i +M s Для стенов (st.ten) M s =5,5 ; σ s =2 Для T-баллов M s =50 ; σ s =10 Для IQ-баллов M s =100 ; σ s =15

Ошибки выборки M = 5.93 s = 2.45 X = 5.5 σ = 2.22

Ошибки выборки X = 5.5 σ = 2.22 M = 6.00 s = 1.70

Чтобы не ошибиться Точечная оценка параметра=оценка одним числом Интервальная оценка параметра: X min < X