Задача 5 «Вероятность» Докладчик: Самунь Виктор Специализированный учебно-научный центр Уральского Государственного Университета им. А.М.Горького

Формулировка задачи Монета удерживается над горизонтальной поверхностью. Найдите начальные условия, позволяющие добиться равной вероятности появления орла и решки после падения монеты.

Способы, позволяющие добиться одинаковых начальных условий (угол наклона монеты, высота) Высоту монеты над поверхностью можно поддерживать одинаковой, используя штатив; GB1 – гальванический элемент; S1 – выключатель; VD1 – светодиод; R1 – резистор; L1 – катушка с сердечником Способ 1 Способ 2 (электромагнит) 1 – лётка; 2 – монета; 3 – прорези

Схема экспериментальной установки: 1 – электромагнит; 2 – монета; 3 – штатив с лапкой; h – высота падения; r – радиус монеты; – угол наклона; – угол наклона;

Вид рабочей установки Общий видМонета

Параметры монет, используемых в экспериментах Масса, г. Диаметр, мм. Толщина, мм. Плотность, г/см 3 Монета 1 1,489 ± 0,001 15,5 ± 0,1 1,0 ± 0,1 7,89 ± 0,01 Монета 2 1,495 ± 0,001 15,9 ± 0,1 1,1 ± 0,1 6,84 ± 0,01

Качественный анализ проблемы 1. Угол 0 о : Вероятность выпадения решки зависит от числа переворотов монеты в воздухе. С ростом высоты вероятность выпадения решки приближается от 0 (1) к 0,5; 2. Угол 90 о : Исходы равновероятны с самого начала, поэтому мы при любой высоте получим вероятность выпадения решки, близкую к 0,5.

Угол 90 о h = 10см, монета 1h = 10см, монета 2 h = 30см, монета 1h = 30см, монета 2

Зависимость вероятности от высоты. Угол 90 о

Угол 0 о h = 25см, монета 1h = 25см, монета 2 h = 5см, монета 1h = 5см, монета 2

Зависимость вероятности от высоты. Угол 0 о h1,522,533,544, n Число переворотов монеты Подложено 0 листов бумаги Коэффициент восстановления: 0,52±0,03

Зависимость вероятности от высоты. Угол 0 о Число переворотов монеты h n Подложено 3 листа бумаги Коэффициент восстановления: 0,37±0,03

Анализ осцилляций графиков Отклонение «пиков» от 0,5 в логарифмическом масштабе:, см -1, см -1 H min, см 0 листов 0,41 ± 0,03 6 ± 2 3 листа 0,12 ± 0,03 22 ± 3

Зависимость вероятности от угла. Высота 2 см

Зависимость вероятности от угла. Высота 30 см

Таблица результатов экспериментов h h00,511,522,533,544, о0о0о0о о о о о Вероятность выпадения решки. Монета 1 h h о0о0о0о о0о0о0о 15 о 30 о 45 о 60 о 75 о 90о90о90о90о

Таблица результатов экспериментов h h00,511,522,533,544, о0о0о0о о о о о Вероятность выпадения решки. Монета 2 Из 9205 проведенных экспериментов 5 раз монета становилась на ребро. Значит, вероятность третьего исхода (падение монеты на ребро) у реальных монет очень мала. Вид монеты на ребре:

Вывод Предложены способы сохранения начальных условий падения монеты (угол, высота, начальная скорость) и сконструирована установка; Предложены способы сохранения начальных условий падения монеты (угол, высота, начальная скорость) и сконструирована установка; Проведен качественный анализ проблемы и выбран самый интересный для исследования случай (0 0 ); Проведен качественный анализ проблемы и выбран самый интересный для исследования случай (0 0 ); Были проведены эксперименты по построению зависимости вероятности выпадения решки от различных начальных условий и исследован результат; Были проведены эксперименты по построению зависимости вероятности выпадения решки от различных начальных условий и исследован результат; Определили условия (для монет, используемых в эксперименте и для поверхности, используемой в эксперименте), позволяющие добиться равной вероятности исходов. Определили условия (для монет, используемых в эксперименте и для поверхности, используемой в эксперименте), позволяющие добиться равной вероятности исходов.

Преимущества и недостатки каждого способа сохранения угла Способ 1 + Простота изготовления; + Возможность регулировки угла наклона; + Возможность проведения эксперимента с любыми монетами; - Наличие силы трения; - Разные конечные скорости монеты; - Невозможность создания некоторых начальных условий; - Невозможность соблюдения постоянства некоторых начальных условий Способ 2 (электромагнит) + Начальная скорость монеты не зависит от угла (0 м / с ); + Нет трения; + Возможность регулировки угла наклона; + Возможность контроля работоспособности установки (с помощью светодиода); + Возможность проведения эксперимента с одинаковыми условиями; - Сложность изготовления; - Необходим элемент питания; - Невозможность проведения эксперимента с некоторыми монетами

Расчет коэффициента затухания Из приведенных графиков видно, что они «колеблются» около прямой =0,5. Значит, можно сказать, что вероятность «совершает затухающие гармонические колебания» около этой прямой. Проведя такую аналогию, вычислим коэффициент затухания: Итоговая функция: Условия равной вероятности: =0,05

Анализ влияния начального положения монеты h = 7см, = 30 о, монета 1, орлом вниз; h = 7 см, = 30 о,монета 1, решкой вниз Вероятность выпадения решки: 0,43±0,05Вероятность выпадения решки: 0,60±0,05 Значит, если мы в начальный момент монету перевернем, т.е. у нее сверху будет другая сторона, то вероятность выпадения решки станет равной: 1-, - исходная вероятность