Определение правильного многоугольника. Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все (внутренние) углы.

Формула для вычисления угла правильного n-угольника.

Окружность, описанная около правильного многоугольника. Теорема: около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Пусть А 1 А 2 …А n - правильный многоугольник, О – центр описанной окружности. При доказательстве теоремы 1 мы выяснили, что ОА 1 А 2 = ОА 2 А 3 = ОА n А 1, поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также равны. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОН проходит через точки Н 1, Н 2, Н n и касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. окружность вписана в данный многоугольник. А1А1 А2А2 А3А3 АnАn Hn H1H1 H2H2 H3H3 О А1А1 А2А2 А3А3 АnАn HnHn H1H1 H2H2 H3H3 О Дано: АВСD…А n - правильный многоугольник. Доказать: в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Докажем, что вписанная окружность только одна. Предположим, что существует другая вписанная окружность с центром О и радиусом ОА. Тогда её центр равноудалён от сторон многоугольника, т.е. точка О 1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и поэтому совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. А1А1 А2А2 А3А3 АnАn H1H1 H2H2 H3H3 О А1А1 А2А2 А3А3 АnАn HnHn H1H1 H2H2 H3H3 О

АD BC O Дано: АВСD…А n - правильный многоугольник. Доказать: около любого правильного многоугольника можно провести окружность, и притом только одну. Доказательство: Проведём биссектрисы ВО и СО равных углов АВС и ВСD. Они пересекутся, так как углы многоугольника выпуклые и каждый меньше 180. Пусть точка их пересечения – О. Тогда, проведя отрезки ОА и OD, получим ΔВОА, ΔВОС и ΔСОD. ΔВОА = ΔВОС по первому признаку равенства треугольников (ВО – общая, АВ=ВС, угол 2 = углу 3). Аналогично ΔВОС=ΔCOD Т.к. угол2 = углу 3 как половины равных углов, то ΔВОС - равнобедренный. Этому треугольнику равны ΔВОА и ΔCOD => они тоже равнобедренные, значит, ОА=ОВ=ОС=OD, т.е. точки А, В, С и D равноудалены от точки О и лежат на окружности (О;ОВ). Аналогично и другие вершины многоугольника лежат на этой же окружности.

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А, В, С. Т.к. через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника АВС...А n можно описать только одну окружность. o A B C D

Следствия. Следствие 1 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. Следствие 2 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Формула для вычисления площади правильного многоугольника. А1А1 А2А2 А3А3 АnАn Hn H1H1 H2H2 H3H3 О А1А1 А2А2 А3А3 АnАn HnHn H1H1 H2H2 H3H3 О Пусть S – площадь правильного n- угольника, a 1 – его сторона, Р – периметр, а r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем, что

Для этого, соединим центр данного многоугольника с его вершинами. Тогда многоугольник разобьется на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна А1А1 А2А2 А3А3 АnАn H1H1 H2H2 H3H3 О А1А1 А2А2 А3А3 АnАn HnHn H1H1 H2H2 H3H3 О Следовательно,

Формула для вычисления стороны правильного многоугольника. Выведем формулы: Для вывода этих формул воспользуемся рисунком. В прямоугольном треугольнике А 1 Н 1 О O А1А1 А2А2 А3А3 АnАn H2H2 H1H1 HnHn H3H3 Следовательно,

Полагая в формуле n = 3, 4 и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:

Задача 1 Дано: окружность(О; R) Построить правильный n- угольник. 1.окружность разделим на n равных дуг. Для этого проведем радиусы ОА1, ОА2,…, ОАn этой окружности так, чтобы угол А1ОА2= угол А2ОА3 =…= угол Аn-1ОАn= угол АnОА1= 360°/n (на рисунке n=8). 2.Если теперь провести отрезки А1А2, А2А3,…, Аn-1Аn, АnА1, то получим n- угольник А1А2…Аn. Треугольники А1ОА2, А2ОА3,…, АnОА1 равны друг другу, поэтому А1А2= А2А3=…= Аn-1Аn= АnА1. Отсюда следует, что А1А2…Аn- правильный n- угольник. Построение правильных многоугольников.

Задача 2 Дано: А1, А2...Аn - правильный n - угольник Построить правильный 2n-угольник Решение. 1.Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов А 1 и А 2 и обозначим буквой О точку их пересечения. 2.Затем проведем окружность с центром О радиуса ОА1. 3.Разделим дуги А 1 А 2, А 2 А 3..., А n А 1 пополам 4.Каждую из точек деления В 1, В 2,..., В n соединим отрезками с концами соответствующей дуги. 5.Для построения точек В 1, В 2,..., В n можно воспользоваться серединным перпендикулярами к сторонам данного n - угольника. На рисунке таким способом построен правильный двенадцатиугольник А 1 В 1 А 2 В 2... А 6 В 6.

Задача 3 Дано: отрезок PQ. Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку. Решение: 1.Построим окружность (О;PQ) и отметим на ней произвольную точку А 1 2.Не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А 2, А 3, А 4, А 5, А 6 так, чтобы выполнялись равенства А 1 А 2 =А 2 А 3 =А 3 А 4 =А 4 А 5 =А 5 А 6. 3.Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6. А6А6 А1А1 А2А2 А3А3 А4А4 А5А5

1.Любой правильный многоугольник является выпуклым 2.Любой выпуклый многоугольник является правильным 3.Многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны 4.Треугольник является правильным, если все его углы равны 5.Любой равносторонний треугольник является правильным 6.Любой четырехугольник с равными сторонами является правильным 7.Любой правильный четырехугольник является квадратом 1ДАНЕТ 2ДАНЕТ 3ДАНЕТ 4ДАНЕТ 5ДАНЕТ 6ДАНЕТ 7ДАНЕТ