Диофант и его уравнения Автор: Потапова Софья 10 класс, МОУ гимназия 63 Научный руководитель: Багина Татьяна Александровна, учитель математики высшей категории

Цель: o научиться решать диофантовы уравнения и задачи, сводящиеся к ним Гипотеза: o умение решать диофантовы уравнения полезно не только при подготовке к математическим олимпиадам, они также могут описывать и бытовые ситуации, встречающиеся на нашем жизненном пути.

Задачи : познакомиться с теоретическим блоком, связанным с Диофантом и его уравнениями; классифицировать диофантовы уравнения; научиться решать уравнения в целых числах несколькими способами и классифицировать методы; сделать выводы; создать приложение, в которое будет входить подборка разных задач;

Методы: Анализ Классификация Наблюдение Обобщение Диофантовы уравнения Объект

Практическая значимость моей работы заключается в использовании ее на углубленных занятиях по математике, при подготовке к математическим олимпиадам и к ЕГЭ.

Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком, И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец. Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил, Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей. о Диофанте Немного

Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение:

Умножим уравнение на 84, чтобы избавиться от дробей: Таким образом, Диофант прожил 84 года.

Неопределенные уравнения I – ой степени и их решения 1) ax + by = с 2) ax + by + cz = d

1) Метод перебора 2) Метод «спуска» ax + by = с

Метод перебора Рассмотрим уравнение: 4,5х + 6у = 57. Нужно найти все натуральные значения переменных х и у.

Помножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных чисел, получим: 9х + 12у = 114. Выразим у через х:

х210 у82 Ответ:

Метод «Спуска» Даны два автомобиля Урал 5557, автомобили отправили в рейс Мыс Каменный – Лабытнанги - Мыс Каменный. Всего понадобилось 4 т дизельного топлива и 2 водителя, чтобы выполнить этот рейс. Нужно определить транспортные затраты, а именно стоимость 1 т дизельного топлива и оплату труда водителей, выполняющих этот рейс, если известно, что всего затрачено р.

Пусть х – стоимость 1 т дизельного топлива, а у – оплата труда водителей. Тогда 4х + 2у – затрачено на выполнение рейса. А по условию задачи затрачено р. Получим уравнение: Выразим переменную у через х: Решение

Выделив целую часть, получим: (1). Т.е. 2х = 4z, где z - целое число. Отсюда: Чтобы значение дроби было целым числом, нужно, 2х было кратно 4.

Значение х подставим в выражение (1): Итак:

Т.к. х, у 0, то z 0, следовательно, придавая z целые значения от 0 до 19000, получим следующие значения x и y: z x y

Если х = 18000, у = 10000, то z = 9000, проверим:,.

ах + by + cz =d 1.) При трех коэффициентах a, b и c может возникнуть, В данном примере коэффициенты a и b взаимнопросты. по крайней мере, два взаимнопростых коэффициента. Например : 2.) Каждые два коэффициента имеют общий множитель, Здесь коэффициенты a и b имеют общий множитель 3, но все три взаимнопросты. Например:. b и c – множитель 5, a и c – 4 и все три коэффициента взаимнопросты.

Дана однокомнатная квартира. Стоимость содержания жилья на 1 м 2 составляет 8 р. Стоимость теплоэнергии на 1 м 2 равна 33 р. Стоимость 1 м 3 воды на человека – 16 р. Какую площадь имеет квартира. Какая площадь отапливается в этой квартире. Норматив потребления воды на человека в течение месяца. Если известно, что в квартплате за месяц всего начислено 1416 р. Задача:

. Обозначим переменными: x - количество кв. м в квартире, y – количество кв. м в квартире, которым отведена теплоэнергия, а z – количество воды (м 3 ), потребляемое на человека. Тогда 8x + 33y + 16z - всего начислено в квартплате за месяц. А по условию задачи, всего начислено 1416 р. Получим уравнение:. Решение:

Выразим x: Выделив целую часть уравнения, получим:

Пусть выражение x тоже был целым. Заменим это выражение на t : будет целым, чтобы коэффициент Если, то

Теперь подставим значение y в уравнение X = 177 – 4y – 2z – t:. Значит

Придавая z и t произвольные целые значения, получим решение исходного уравнения: t12 z45 x y816

В ходе данного исследования я овладела новыми математическими навыками, научилась решать диофантовы уравнения разными методами. На примерах показала, что умение решать диофантовы уравнения полезно не только при подготовке к математическим олимпиадам, они также могут описывать и бытовые ситуации, встречающиеся на нашем жизненном пути. Заключение: