Команда «Интеграл» Системы координат на плоскости и в пространстве. Векторы. Действия с векторами. Решение задач с помощью векторов. Пожелание

Системы координат на плоскости и в пространстве Что такое система координат? Рене Декарт Задание прямоугольной системы координат Задание прямоугольной системы координат Вопросы Повторение Решение задач Вернуться на главную страницу

Системы координат на плоскости и в пространстве Декартовы прямоугольные координаты О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oy параллельно оси Ox). Расположение точки M на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел : расстояние от точки M до оси y с учетом знака расстояние от точки M до оси x с учетом знака Декартовы координаты в пространстве задаются с помощью точки начала координат и трёх взаимно-перпендикулярных направленных прямых. Прямые занумерованы, задан единичный отрезок. Положение любой точки в пространстве однозначно определено тремя числами: первое число – величина проекции точки на первую ось, второе – величина проекции на вторую ось, третье – на третью. Далее >> y x M (x,y) M (x,y,z) x y z

Рене Декарт ДЕКАРТ (Descartes), Рене 31 марта 1596 г. – 11 февраля 1650 г. Французский философ, физик, математик и физиолог Рене Декарт (латинизированное имя – Картезий; Cartesius) родился в Лаэ близ Тура в знатной, но небогатой семье. Образование получил в иезуитской школе Ла Флеш в Анжу (окончил в 1614 г.) и в университете в Пуатье (1616). У Декарта действительное число трактовалось как отношение любого отрезка к единичному, хотя сформулировал такое определение лишь И. Ньютон; отрицательные числа получили у Декарта реальное истолкование в виде направленных ординат. Декарт значительно улучшил систему обозначений, введя общепринятые знаки для переменных величин (x, у, z,...) и коэффициентов (a, b, с,...), а также обозначения степеней (х 4, a 5,...). Запись формул у Декарта почти ничем не отличается от современной. Далее >>

Задание прямоугольной системы координат в пространстве: К Вопросам >> Оy Оz Оz Оx Оy Оx M (1; 1; 1) Ох – ось абсцисс Оу – ось ординат Оz – ось аппликат

Вопросы: 1. Сколькими координатами может быть задана точка на прямой? Одной. 2. Сколькими координатами может быть задана точка в координатной плоскости? Двумя. 3. Сколькими координатами может быть задана точка в пространстве? Тремя.

Выполнение задания с последующей проверкой. Начертить прямоугольную трехмерную систему координат и отметить в ней точки: А (1; 4; 3); В (0; 5; -3); С (0; 0; 3) и D (4; 0; 4) подсказка

Нахождение координат точек. Точка лежит на оси Оу (0; у; 0) Ох (х; 0; 0) Оz (0; 0; z) в координатной плоскости Оху (х; у; 0) Охz (х; 0; z) Оуz (0; у; z) вернуться

Повторение. Даны точки: А (2; -1; 0) В (0; 0; -7) С (2; 0; 0) D (-4; -1; 0) Е (0; -3; 0) F (1; 2; 3) Р (0; 5; -7) К (2; 0; -4) Назовите точки, лежащие в плоскости Оуz. Назовите точки, лежащие в плоскости Охz. Назовите точки, лежащие в плоскости Оху. В (0; 0; -7) С (2; 0; 0) Е (0; -3; 0)

Решение задач. Даны координаты четырех вершин куба х у z C 1 - ? C - ? A 1 (1;0;0) B 1 - ? D 1 - ? A (0;0;0) B (0;0;1)D (0;1;0) В 1 (1; 0; 1) С (0; 1; 0) С 1 (1; 1; 0) D 1 (1; 1; 1) Найдите координаты остальных вершин. На главную

Векторы Векторы Понятие вектора Коллинеарные векторы Равенство векторов Противоположные векторы Действия с векторами >>Вернуться на главную

Понятие вектора Пусть на тело действует сила в 8Н. Стрелка указывает направление силы, а длина отрезка соответствует числовому значению силы. 8Н >

Понятие вектора Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором. Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно указать два направления. Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем НАЧАЛОМ, а другой – КОНЦОМ и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу. >

Понятие вектора На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой Вектор АВ, А – начало вектора, В – конец. CD EF LK АВ АВ C D EF K L >

Понятие вектора Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: Любая точка плоскости также является вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом: ММ = 0. a b c М >

Понятие вектора Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ: АВ = а = АВ = 5 с = 17 Длина нулевого вектора считается равной нулю: ММ = 0. a М В А с >

Коллинеарные векторы Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. аb c d m n s L >

Равенство векторов Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. а = b, если 1) а b 2) а = b аc b d m n s f >

Противоположные векторы Пусть а – произвольный ненулевой вектор. Определение. Вектор b называется противоположным вектору а, если а и b имеют равные длины и противоположно направлены. a = АВ, b = BA Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c. Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0 А B a b c -c

Действия с векторами Откладывание вектора от данной точкиОткладывание вектора от данной точки Сумма двух векторов Законы сложения Сумма нескольких векторов Вычитание векторов Умножение вектора на число Способы задания вектора Правила действия над векторами с заданными координатамиПравила действия над векторами с заданными координатами Скалярное произведение >>Вернуться на главную страницу

Откладывание вектора от данной точки Если точка А – начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки А. Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой А а М а

Сумма двух векторов Рассмотрим пример: Петя из дома(D) зашел к Васе(B), а потом поехал в кинотеатр(К). В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами DB и BK, Петя переместился из точки D в К, т.е. на вектор DК: DK=DB+BK. Вектор DK называется суммой векторов DB и BK. D B K >

Сумма двух векторов Правило треугольника Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b. АС = а + b a b A a b B C

Законы сложения векторов 1) а+b=b+a (переместительный закон) Правило параллелограмма Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем вектор АD = b. На этих векторах построим параллелограмм АВСD. АС = АВ + BС = а+b АС = АD + DС = b+a 2) (а+b)+c=a+(b+c) (сочетательный закон) a a b b A DC B a b

Сумма нескольких векторов Правило многоугольника s=a+b+c+d+e+f k+n+m+r+p=0 a b c d e f s k m n r p O

Вычитание векторов Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Теорема. Для любых векторов а и b справедливо равенство а - b = а + (-b). Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b. а а b -b a - b

Умножение вектора на число Определение. Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна вектору k а, причем векторы а и b сонаправлены при k0 и противоположно направлены при k

Умножение вектора на число Для любых чисел k, n и любых векторов а, b справедливы равенства: 1) (kn) а = k (na) (сочетательный закон) 2) (k+n) а = kа + na (первый распределительный закон) 3) K ( а+ b ) = kа + kb (второй распределительный закон) Свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) = = 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = - 5b + 4c

Способы задания вектора x y О z

Правила действий над векторами с заданными координатами. 1. Равные векторы имеют равные координаты. Пусть, тогда Следовательно х 1 = х 2 ; у 1 = у 2 ; z 1 = z 2 >

Правила действий над векторами с заданными координатами. 2. Каждая координата суммы двух (и более) векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Дано: Доказать: Следовательно >

Правила действий над векторами с заданными координатами. 3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число. Дано: Доказать: α – произв.число 4. Каждая координата разности двух векторов равна число равна разности соответствующих координат на этих векторов. Дано: Доказать:

Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. ) α а b аb=lal·lbl·cosα· ) α a{x 1 ;y 1 } b{x 2 ;y 2 } Cкалярное произведение векторов a{x 1 ;y 1 } и b{x 2 ;y 2 } выражается формулой а·b =x 1 ·x 2 +y 1 ·y 2

Решение задач Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Повторить материал Вернуться на главную

Задача 1 Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед. Упростите выражение: C 1 D-DA+CD+D 1 A 1 +AB 1 +CC 1 А ВС D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 Решение: Воспользуемся свойствами сложения векторов СС 1 +С 1 D=CD, D 1 A 1 -DA=0, Получаем: CD+CD+AB 1, CD=BA, BA+AB 1 =BB 1, CD+BB 1 =BA 1 К списку задач

2Определите координаты векторов: x y О z ОА 1 = 1,5 ОА 2 = 2,5 ОА = 2 А1А1 А2А2 А ? К списку задач

3Определение координат векторов: x y О z ОА 1 = 1,5 ОА 2 = 2,5 ОА = 2 А1А1 А2А2 А ? К списку задач

4Определите координаты векторов: x y О z ОА 1 = 1,5 ОА 2 = 2,5 ОА = 2 А1А1 А2А2 А ? В1В1 В2В2 В К списку задач

Пространство,плоскость,вектора Шагают рядом, и всегда В решении любой задачи Пусть вам сопутствует удача! В начало