Объем прямой призмы

Цели урока: Вспомнить понятие призмы. Изучить теорему об объеме призмы. Провести доказательство. Применить полученные знания на практике.

Призма – многогранник, составленный из двух равных многоугольников A 1 A 2 …A n и B 1 B 2 и B n, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммо в.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой. Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники.

Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту Доказательство Сначала докажем теорему для прямоугольной призмы, а затем –для произвольной прямой призмы. В D1D1 А1А1 В1В1 С1С1 АC D

1)Рассмотрим прямую треугольную призму ABCA 1 B 1 C1 с объёмом V и высотой h. 2)Проведем такую высоту треугольника ABC (на рис. BD),которая разделяет этот треугольник на два треугольника. 3)Плоскость BB 1 D разделяет данную призму на 2 призмы, основаниями которых являются прямоугольные треугольники ABD и BDC. 4)Поэтому объемы V 1 и V 2 этих призм соответственно равны S ABD ·h и S BDC ·h. По свойству 2° объемов V=V 1 +V 2, т.е V=S ABD ·h=(S ABD +S BDC ) · h. 5)Таким образом, V= S ABC ·h. V=S ABC h В D1D1

Теорема для произвольной прямой призмы с высотой h и площадью основания S. Такую призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. На рис. изображена пятиугольная призма, которая разбита на три прямоугольные призмы. Выразим объем каждой прямоугольной призмы по формуле V= S ABC ·h и сложим эти объемы. Мы вынесем за скобки общий множитель h, потом получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению S · h.

Задача Дано: ABCA 1 B 1 C 1 - прямая призма. AB=BC=m; ABC= φ, BD- высота в ABC; BB1=BD. Найти: V ABCA1B1C1 -?

Решение: 1)S ABC ·h, h=BB 1. 2)Рассмотрим ABC; ABC- р/б. BD- высота ABC, следовательно медиана и биссектриса. ABD= DBC= φ/2 3) Рассмотрим ABD; ABD- прямоугольный. Из соотношения в : cosφ/2 = BD/AB BD= cosφ/2 AB, BD=m cosφ/2 (AB=m) 4) Т.к. BD=BB 1 BB 1 =m · cos φ /2 5) S ABC = ½ AB·BC· sinφ; S ABC = ½ m 2 · sinφ 6) V= ½ m 2 · sinφ· mcosφ/2=½ m 3 · sinφ · cosφ/2 Ответ: ½ m 3 · sinφ · cosφ/2

Вопросы: Как найти объем прямой призмы? Основные шаги при доказательстве теоремы прямой призмы?

Работу выполнили: Шахбазян Эллена,11В Шмырева Юлия,11 В Двадненко Аня,11 В

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ =)