ДИНАМИКА ТОЧКИ ЛЕКЦИЯ 2: ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

1. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Пусть материальная точка движется вдоль оси x. Тогда во время движения y=z=0. необходимые условия движения по прямой Эти условия не достаточны! (см. пример) Для того, чтобы материальная точка двигалась по прямой необходимо и достаточно, чтобы действующая на нее сила была все время параллельна начальной скорости движения точки. Д-во достаточности: Ось x направим по начальной скорости, а начало координат совместим с начальным положением точки.

2. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ: РЕШЕНИЯ В КВАДРАТУРАХ В силу нелинейности дифференциального уравнения, определение его решения в общем случае возможно только численно (приближенно). Однако существуют частные случаи, в которых нахождение решения уравнения при выполнении начальных условий сводится к квадратурам – взятию интегралов. Выделим три таких случая:

3. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ F(t)

4. ПРИМЕР: ГАРМОНИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩАЯСЯ СИЛА

5. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ F(x)

6. ПРИМЕР : ПАДЕНИЕ ЗЕМЛИ НА СОЛНЦЕ

7. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ F(dx/dt) СПОСОБ 1 СПОСОБ 2

8. ПРИМЕР: ПАДЕНИЕ ТЕЛА С КВАДРАТИЧНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ Точка массы m падает на Землю из состояния покоя под действием постоянной силы тяжести. Найти скорость и закон движения точки, если сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости (, где k постоянная). Приближенное решение

9. БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ Исходная задача Единицы измерения Исходная задача Численное значение констант и зависит от единиц измерения. Нельзя ли выбрать «родные» для задачи единицы, так, чтобы она стала максимально простой? Черточки над и для простоты записи опущены

10. ПРЕИМУЩЕСТВА БЕЗРАЗМЕРНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Проще решать. Не нужно таскать константы, труднее ошибиться Задачу нужно решить лишь один раз, а не для каждого набора параметров. Все остальное делается простым растяжением координат x и t Свойства изучаемого процесса проще анализировать если решение есть функция одной переменной лучше чем

11. ПРИМЕР: ПАДЕНИЕ ТЕЛА С ЛИНЕЙНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ Та же задача, но, где k постоянная. Можно было бы решать как и предыдущую. Но рассматриваемое уравнение имеет огромное достоинство: оно принадлежит классу линейных диф. уравнений с постоянными коэффициентами. Метод их решения чрезвычайно прост и общ. Рассмотрим вначале однородное диф. уравнение второго порядка с постоянными к-ми Для построения его общего решения достаточно найти два частных решения. Если и -такие решения, то в силу линейности -общее решение. Частные решения легко предъявляются. -корни квадратного ур-ния Общее решение однородного уравнения Для построения общего решения неоднородного уравнения достаточно найти какое либо его частное решение. В силу линейности общим решением будет. Общий алгоритм построения будет дан в курсе ДУ. Но во многих случаях просто угадывается

12. ПРИМЕР: ПАДЕНИЕ ТЕЛА С ЛИНЕЙНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ 1) Переходим к безразмерным переменным По-прежнему черточки над и для простоты записи опущены 2) Угадывем частное решение 3) Решаем характеристическое уравнение 4) Выписываем общее решение 5) Находим произвольные константы из начальных условий 6) Выписываем окончательный результат