МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ МОРДОВИЯ МОУ «ИНСАРСКАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА 1» Конкурс научно – исследовательских работ «Интеллектуальное будущее Мордовии» Секция: математика Автор работы: ЯМАШКИН ПАВЕЛ, Научный руководитель: Чудаева Е. В., учитель математики

исследование и изучение основ фрактальной теории, знакомство с математическим обоснованием графической интерпретации фрактальных образов Анализ литературы по теме исследования, Изучение фракталов различного вида, Разработать классификацию фракталов, Собрать коллекцию фрактальных образов.

История появления Определение фрактала Примеры фракталов Классификация фракталов Применение фракталов Заключение Фракталы в природе

Фрактал - геометрическая фигура, состоящая из частей, которые могут быть поделены на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого. Fractal от латинского слова fractus, означает разбитый (поделенный на части). Основное свойство фракталов: самоподобие, в самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ СТОХАСТИЧЕСКИЕ

Это «функции - монстры», которых так называли за недифференцируемость в каждой точке. Геометрические фракталы являются также самыми наглядными, т.к. сразу видна самоподобность. Для построения геометрических фракталов характерно задание «основы» и «фрагмента», повторяющегося при каждом уменьшении масштаба.

Треугольник Серпинского

ковер Серпинского

Это фракталы, которые можно построить, используя простые алгебраические формулы. Получают их с помощью нелинейных процессов в n– мерных пространствах. Самыми известными из них являются множества Мандельброта и Жюлиа, Бассейны Ньютона

Множество Жюлиа Цвет каждой точки зависит от того, сколько итераций комплексной функции может быть сделано, пока точка z не выйдет за пределы круга радиуса r Здесь z комплексное число, соответствующее точке. Множество Жюлиа это множество таких точек, что отображения вида не отображают их в окрестность бесконечности. На рисунке эти точки окрашены лиловым цветом. Картинка получена выбором параметров a = 1.8, и b = 0.2 i и поворотом на 90 0

МНОЖЕСТВО МАНДЕЛЬБРОТА (окрашено лиловым цветом). Картинка получается с помощью той же процедуры, что и выше. Различие состоит в том, что начальное значение для точки z берётся всегда равным нулю, а точке с координатами (х; у) на картинке соответствует комплексный параметр b = x + y i.

Если выбрать показатель степени комплексного числа в виде любого натурального числа n, то получим многочисленный класс фрактальных множеств высокой симметрии, порядок которой определяется натуральной степенью. Для составления программы Fractal5, которая вычисляет каждую итерацию по формуле f(z)=z n +c, где с=a+ib, пришлось использовать тригонометрическую форму задания комплексного числа Фракталы множеств комплексных степеней. п = 9

п = 3 п = 5 п = 8 п = 15

Это фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры. Эти фракталы используются при моделировании рельефов местности и поверхности морей, процесса электролиза. Стохастические фракталы очень похожи на природные объекты – несимметричные деревья, изрезанные береговые линии.

Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров- тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму. Математика Компьютерная графика Физика Дизайн

1. Проанализирована и проработана литература по теме исследования. 2. Рассмотрены и изучены различные виды фракталов. 3. Представлена классификация фракталов. 4. Собрана коллекция фрактальных образов для первичного ознакомления с миром фракталов. 5. Составлены программы для построения графического образа фракталов.