Задачи с параметрами на определение свойств решений квадратных уравнений и неравенств

Свойства решений квадратных уравнений Рассмотрим квадратное уравнение (1) Дискриминант корни (в случае )

Уравнение получено из (1) делением на Введем обозначение Уравнение (2) называется приведенным квадратным уравнением.

Теорема Виета Пусть уравнение имеет действительные решения Тогда

Пример 1. Найти сумму и произведение корней уравнения Решение. 1) Проверка: имеет ли уравнение действительные корни? Уравнение имеет действительные корни. 2) Нахождение суммы и произведения корней уравнения с использованием теоремы Виета.

Пример 2. Найти сумму и произведение корней уравнения Решение. Проверка: имеет ли уравнение действительные корни? Уравнение не имеет действительных корней. Ответ. Уравнение не имеет действительных корней.

Пример 3. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения равно 10 ? Решение. 1) Найдем все значения параметра а, при которых уравнение имеет действительные решения. 2) По теореме Виета произведение корней уравнения равно 10, если 0 Решение системы: Ответ.

Применение теоремы Виета при исследовании свойств решений квадратных уравнений имеет корни одного знака, если имеет корни разных знаков, если имеет положительные корни, если имеет отрицательные корни, если Уравнение

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни разных знаков ? Решение. 1) Найдем все значения параметра а, при которых уравнение имеет действительные решения. 2) Уравнение имеет корни разных знаков, если > 0 Решение системы: Ответ.

Рассмотрим квадратное неравенство (3) Дискриминант корни (в случае ) Свойства решений квадратных неравенств (*) Возможные знаки неравенства: >,

Задача отыскания решений квадратного неравенства (3) связана с исследованием соответствующего квадратного уравнения (1), и, следовательно, с возможностью использовать теорему Виета для приведенного уравнения (2). Пример 5. При каких значениях параметра а неравенство имеет только положительные решения ? Решение. x y x1x1 x2x существование решений неравенства в виде промежутка - корни квадратного уравнения (точки пересечения с осью Оx) – положительные Ответ.