Автор : ученик 8- а класса Гимназии 1 Сычев Алексей. Руководитель : Илющихина М. И.

Определение: Определение: арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначается так: а. Знак называется знаком арифметического квадратного корня; а называется подкоренным выражением. Выражение а читается так: «Арифметический квадратный корень из числа а». В случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне, говорят: «Корень квадратный из а». Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня. Возводить в квадрат можно любые числа, но извлекать квадратный корень можно не из любого числа. Например, нельзя извлечь квадратный корень из числа -4, так как нет такого числа, квадрат которого равен -4.

Итак, выражение а имеет смысл только при а 0. Определение квадратного корня можно кратко записать так: а 0, ( а ) = а Равенство ( а ) = а справедливо при а 0.

Квадратный корень из степени Вычислим значение выражения а при а=3 и а=-3. По определению квадратного корня 3 =3. При а=-3 находим (-3) = 3 =3. Так как число 3 является противоположным числу -3, то можно записать: (-3) = -(-3) или (-3)= |-3|. Теорема 1: для любого числа а справедливо равенствоа = |а|. Рассмотрим два случая: а0 и a

Вместо того чтобы говорить, что равенство иа² = |а| выполняется при любых значениях входящих в него букв, говорят, что это равенство выполняется тождественно. Равенства, справедливые при любых значениях входящих в них букв, называют тождествами.

Теорема 2. Если a>b>0, то a> b. В самом деле, если допустить, что a b, то, возведя обе части неравенства в квадрат, получим ab, что противоречит условию a>b.

Квадратный корень из произведения Теорема. Если a0, b0, тоab=a b т.е. корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Для того чтобы доказать, что a b есть арифметический квадратный корень из ab, надо доказать, что: 1)ab0 2)(ab) =ab. по определению квадратного корня a0, b0,поэтому ab0. По свойству степени произведения и определению квадратного корня (a b ) = (a ) (b ) =ab.

Квадратный корень из дроби Теорема. Если а 0, b>0, то т. е. корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.. В некоторых задачах полезно избавиться от иррациональных выражений в знаменателе дроби.

Требуется доказать, что: 1) 2) Так как По доказанной теореме при делении корней можно разделить подкоренные выражения и из результата извлечь корень: По свойству возведения дроби в степень и определению квадратного корня получаем: