РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Нахождение расстояний 1 Для нахождения расстояния от точки A до прямой l перпендикуляр AH, опущенный из данной точки на данную прямую, представляют в качестве высоты треугольника, одной вершиной которого является точка A, а сторона BC, противолежащая этой вершине, лежит на прямой l. Зная стороны этого треугольника, можно найти и его высоту. При этом возможны следующие случаи: 1. Треугольник ABC – равнобедренный, AB = AC. Пусть AB = AC = b, BC = a. Искомый перпендикуляр находится из прямоугольного треугольника ABH: H

Нахождение расстояний 2 2. Треугольник ABC – равнобедренный, AC = BC. Пусть AB = c, AC = BC = a. Найдем высоту CG. Площадь треугольника ABC равна С другой стороны, площадь этого треугольника равна Приравнивая первое и второе значения площади, получим значение искомого перпендикуляра

Нахождение расстояний 3 3. Треугольник ABC – прямоугольный, угол A – прямой. Пусть AB = c, AC = b. Тогда гипотенуза BC равна. Удвоенная площадь треугольника ABC, с одной стороны, равна bc, а с другой. Следовательно,.

Нахождение расстояний 4 4. Треугольник ABC – произвольный. Пусть AB = c, AC = b, BC = a,. По теореме косинусов имеет место равенство Откуда Зная косинус угла, можно найти его синус а зная синус, можно найти высоту

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до прямой BC. Ответ: 1. Куб 1

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до прямой CD. Ответ: 1. Куб 2

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до прямой DD 1. Ответ: 1. Куб 3

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до прямой BC 1. Ответ: 1. Куб 4

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до прямой DC 1. Ответ: 1. Куб 5

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до прямой B 1 C 1. Ответ: Куб 6

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до прямой C 1 D 1. Ответ: Куб 7

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до прямой CC 1. Ответ: Куб 8

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до прямой BD. Ответ: Куб 9

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до прямой BA 1. Ответ: Куб 10

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до прямой DA 1. Ответ: Куб 11

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до прямой B 1 D 1. Ответ: Решение: Искомое расстояние равно высоте AE равностороннего треугольника AB 1 D 1. Имеем, AB 1 = AD 1 = B 1 D 1 =. Следовательно, AE = Куб 12

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до прямой CB 1. Ответ: Решение: Искомое расстояние равно высоте AE равностороннего треугольника ACB 1. Имеем, AC = AB 1 = CB 1 =. Следовательно, AE = Куб 13

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до прямой CD 1. Ответ: Решение: Искомое расстояние равно высоте AE равностороннего треугольника ACD 1. Имеем, AC = AD 1 = CD 1 =. Следовательно, AE = Куб 14

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до прямой A 1 C. Ответ: Решение: Искомое расстояние равно высоте AE прямоугольного треугольника ACA 1. Имеем, AA 1 = 1, AC =, CA 1 =. Следовательно, AE =. Куб 15

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до прямой BD 1. Ответ: Решение: Искомое расстояние равно высоте AE прямоугольного треугольника ABD 1. Имеем, AB = 1, AD 1 =, BD 1 =. Следовательно, AE =. Куб 16

В единичном кубе A…D 1 точка E – середина ребра C 1 D 1. Найдите расстояние от точки A до прямой BE. Куб 17 Ответ: Решение: Искомое расстояние равно высоте AH равнобедренного треугольника ABE. Имеем, AB = 1, AE = BE = 1,5. Следовательно, AH =

В единичном кубе A…D 1 точка E – середина ребра C 1 D 1. Найдите расстояние от точки A 1 до прямой BE. Куб 18 Ответ: 1. Решение: Искомое расстояние равно высоте A 1 H треугольника A 1 BE. Имеем, A 1 B = A 1 E = BE =1,5. По теореме косинусов, находим Следовательно, A 1 H = 1.

В правильном единичном тетраэдре ABCD найдите расстояние от вершины A до прямой BC. Ответ: Решение. Искомое расстояние равно высоте AH треугольника ABC. Оно равно Пирамида 1

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от вершины S до прямой AB. Ответ: Решение. Искомое расстояние равно высоте SH треугольника SAB. Оно равно Пирамида 2

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от вершины A до прямой SB. Ответ: Решение. Искомое расстояние равно высоте AH треугольника SAB. Оно равно Пирамида 3

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от вершины A до прямой SC. Ответ: 1. Решение. Треугольник SAC прямоугольный. Искомое расстояние равно катету SA и равно 1. Пирамида 4

В правильной пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от вершины S до прямой AB. Ответ: Решение. Искомое расстояние равно высоте SH треугольника SAB. Оно равно Пирамида 5

В правильной пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от вершины S до прямой AC. Ответ: Решение. Искомое расстояние равно высоте SH треугольника SAC. Оно равно Пирамида 6

В правильной пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от вершины S до прямой AD. Ответ: Решение. Искомое расстояние равно высоте SH треугольника SAD. Оно равно Пирамида 7

В правильной пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от точки A до прямой SB. Ответ: Решение. Искомое расстояние равно высоте AH треугольника SAB. Оно равно Пирамида 8

В правильной пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от точки A до прямой SC. Ответ: Решение. Искомое расстояние равно высоте AH треугольника SAC. Оно равно Пирамида 9

В правильной пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от точки A до прямой SD. Ответ: Решение. Искомое расстояние равно высоте AH равностороннего треугольника SAD. Оно равно Пирамида 10

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BB 1. Ответ: 1. Призма 1

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой CC 1. Ответ: 1. Призма 2

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой A 1 B 1. Ответ: 1. Призма 3

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой A 1 C 1. Ответ: 1. Призма 4

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BC. Ответ: Призма 5

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BA 1. Ответ: Призма 6

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой CA 1. Ответ: Призма 7

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой B 1 C 1. Ответ: Решение: Искомое расстояние равно высоте AD равнобедренного треугольника AB 1 C 1. Имеем, B 1 C 1 = 1; AB 1 = AC 1 =. Следовательно, AD = Призма 8

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BC 1. Ответ: Решение: Искомое расстояние равно высоте AD равнобедренного треугольника ABC 1. Имеем, AB = 1; AC 1 = BC 1 =. Следовательно, AD = Призма 9

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BD 1, где D 1 – середина ребра A 1 C 1. Призма 10 Ответ:. Решение: Искомое расстояние равно высоте AH треугольника AB 1 D 1. Так как прямая B 1 D 1 перпендикулярна плоскости ACC 1, то треугольник AB 1 D 1 – прямоугольный (угол AD 1 B – прямой). Высота AH совпадает с катетом AD 1 и равна.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BB 1. Ответ: 1. Призма 1

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой CC 1. Призма 2 Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AC. Она равна. Ответ:.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой DD 1. Ответ: 2. Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AD. Она равна 2. Призма 3

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой DE. Ответ:. Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AE. Она равна. Призма 4

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой DC. Ответ:. Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AC. Она равна. Призма 5

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BC. Ответ: Решение: Продолжим отрезки CB и FA до пересечения в точке G. Треугольник ABG равносторонний. Искомым расстоянием является длина высоты AH треугольника ABG. Она равна Призма 6

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BD. Ответ: 1. Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AB. Она равна 1. Призма 7

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BE. Ответ: Решение: Пусть O – центр нижнего основания. Треугольник ABO – равносторонний. Искомое расстояние равно высоте AH этого треугольника. Она равна Призма 8

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BF. Ответ: Решение: Пусть O – центр нижнего основания, H – точка пересечения AO и BF. Тогда AH – искомое расстояние. Оно равно Призма 9

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой CE. Ответ: Решение: Проведем диагональ AD. Обозначим G – ее точку пересечения с CE. AG – искомое расстояние. Оно равно Призма 10

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой CF. Ответ: Решение: Проведем отрезок AE. Обозначим G – его точку пересечения с CА. AG – искомое расстояние. Оно равно Призма 11

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой A 1 B 1. Ответ: 1. Призма 12

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой D 1 E 1. Ответ: 2. Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AE 1. В прямоугольном треугольнике AEE 1 имеем: EE 1 = 1, AE =. Следовательно, AE 1 = 2. Призма 13

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой C 1 D 1. Ответ: 2. Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AC 1. В прямоугольном треугольнике ACC 1 имеем: CC 1 = 1, AC =. Следовательно, AC 1 = 2. Призма 14

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой B 1 C 1. Ответ: Решение: Достроим призму, присоединив к ней правильную треугольную призму ABGA 1 B 1 G 1. Искомым расстоянием является длина отрезка AH 1, где H 1 – середина ребра B 1 G 1. В прямоугольном треугольнике AHH 1 имеем: HH 1 = 1, AH = Следовательно, AH 1 = Призма 15

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой E 1 F 1. Ответ: Решение аналогично решению предыдущей задачи. Призма 16

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BA 1. Ответ: Призма 17

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BD 1. Ответ: 1. Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AB. Она равна 1. Призма 18

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BE 1. Призма 19 Решение: Искомое расстояние равно высоте AH прямоугольного треугольника ABE 1, в котором AB = 1, AE 1 = 2, BE 1 = Ответ: Из подобия треугольников ABE 1 и BHA находим AH =

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BF 1. Призма 20 Ответ: Обозначим угол ABF 1. По теореме косинусов, примененной к треугольнику ABF 1, имеем Следовательно, и, значит, AH = Решение: Искомое расстояние равно высоте AH треугольника ABF 1, в котором AB = 1, AF 1 =, BE 1 = 2.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BC 1. Призма 21 Решение: Искомое расстояние равно высоте AH треугольника ABC 1, в котором AB = 1, BC 1 =, AC 1 = 2. Ответ: Обозначим угол AC 1 B. По теореме косинусов, примененной к треугольнику ABC 1, имеем Следовательно, и, значит, AH =

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой CD 1. Призма 22 Ответ: Решение: Искомое расстояние равно длине отрезка AC. Оно равно

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой CE 1. Призма 23 Решение: Искомое расстояние равно высоте AH треугольника ACE 1, в котором AC =, CE 1 = AC 1 = 2. Ответ:.AH =.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой CF 1. Призма 24 Ответ: Из подобия треугольников ACF 1 и HAF 1 находим AH = Решение: Искомое расстояние равно высоте AH прямоугольного треугольника ACF 1, в котором AC =, AF 1 =, CF 1 =.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой CB 1. Высота BG этого треугольника равна Его площадь равна С другой стороны, эта площадь равна Ответ: Приравнивая площади, получим Призма 25 Решение: Искомое расстояние равно высоте AH треугольника ACA 1, в котором AC =, AB 1 = CB 1 =.