О мир, пойми! Певцом –во сне – открыты Закон звезды и формула цветка. М. Цветаева. Математика дает универсальные инструменты для изучения связей, зависимостей между различными величинами. Её изучение делает шире и богаче наши возможности математического описания окружающего мира.

Муниципальное Общеобразовательное Учреждение «Средняя Общеобразовательная Школа 236 г.Знаменск» Работу выполнили ученицы 9 «А» класса: Харламова Анастасия и Сафина Алина Научный руководитель: учитель математики Потапова Е.А.

Цель работы: 1)Ввести понятия: а) параметр; б) уравнения с параметрами; в) системы допустимых значений параметров; г) равносильность для уравнений с параметрами. 2)Рассмотреть общие принципы для решения линейных уравнений с параметрами.

Рассмотрим уравнения вида:, где переменные. Переменные, которые при решения уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры. Параметры договорились обозначать первыми буквами латинского алфавита, а неизвестные Исследовать и решить уравнение с параметрами – это значит: 1.Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение. 2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Определение Система значений пара- метров, при которых левая и правая части неравенства имеют смысл в области действительных чисел, называют системой допустимых значений параметров. Теорема. Два уравнения, со- держащие одни и те же параметры, называют равносильными, если: они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров; каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот. В процессе решения существенную роль играет теорема о равносильности.

Определение: Уравнение вида где - выражения, зависящие от параметров, переменная, называют линейным. Перепишем уравнение в виде:

Возможны три случая: 1) Если А=В=0, то уравнение примет вид: 0x=0.При любом значении x это равенство верно. Значит уравнение имеет бесчисленное множество корней, x– любое число. 2)Если А=0,В, то уравнение примет вид 0x=В. Корней нет. 3) Если А, то уравнение имеет единственный корень:

2 ) При а=2 уравнение примет вид 0х=1. Корней нет. 3) При и уравнение имеет один корень: или Ответ: 1).При а=1, х- любое число, 2).При а=2, решений нет, 3).При и,. Пример 1:Исследовать и решить уравнение с параметром: 1)При а=1 уравнение примет вид: 0х=0.Это равенство верно при любом х, значит х Графическая иллюстрация исследования по параметру а:

Пример 2. Решить уравнение с параметром: Разложим на множители левую и правую часть уравнения. Получим: 1) Если а=1, то уравнение примет вид: 0x=0. Уравнение имеет бесчисленное множество корней. х 2)Если, то уравнение имеет один корень или Ответ: 1).При а=1, х- любое число, 2).При,. Графическая иллюстрация исследования по параметру а:

Исследовать и решить уравнения с параметром. Ответ: 1)При единственное решение. 2)При m=2,25. 3) При m=-0,4. 4) При m=1 уравнение не определено или не имеет смысла. Данное уравнение равносильно с учетом D(y): -канонический вид линейного уравнения с параметром, наиболее удобный для исследования. то есть, при m=-0,4 а) Если, то существует единственное решение: б) Выясним, при каких значениях параметра m x=-3. в) Если m=2,25, то 0x=26,5, следовательно, решений нет. Графическая иллюстрация исследования по параметру а:

Тренировочные упражнения. Решить и исследовать уравнения с параметром: 1). 2). 3). 4). 5). 6). 7).

Вывод: Необходимость рассматривать уравнения с буквенными коэффициентами возникает часто. Прежде всего это полезно тогда, когда формулируются некоторые общие свойства, присущие не одному конкретному уравнению, а целому классу уравнений. Разумеется, то, что в уравнении одни буквы мы считаем неизвестными, а другие – параметрами, в значительной степени условно. В реальной практике из одного и того же соотношения между переменными приходится выражать одни переменные через другие, то есть решать уравнение относительно одной буквы, считая ее обозначением неизвестного, а другие буквы параметрами.

При решении уравнений с параметрами чаще всего встречаются две задачи: 1)Найти формулу для решения уравнения; 2) Исследовать решения уравнения в зависимости от изменения значений параметров.

В простейших случаях, как мы убедились, решение уравнения с одним неизвестным распадается на два шага –преобразование уравнения к стандартному и решение стандартного уравнения.

Исследование линейного уравнения с параметром - это первый шаг в познании методов исследования систем линейных уравнений с большим количеством неизвестных, которые имеют широкое применение на практике.

Так, в задачах математической экономики можно найти системы, состоящие из нескольких сотен уравнений с таким же примерно числом неизвестных. Для их решения разработаны мощные машинные методы. Основную роль при этом играют компактные способы записи систем и их преобразований. Представьте себе: система из тысячи уравнений с тысячью неизвестными содержит миллион коэффициентов.

Мы пока стоим на пороге познания методов исследования реальных процессов. Математика дает нам универсальные методы для будущей профессиональной работы в области ЭКОНОМИКИ.

Источник знаний: «Уравнения и неравенства с параметром» А.Х.Шахмейстер. С.-Петербург «Алгебра и начала анализа» М.И.Башмаков. Москва. «Просвещение» «Практикум по элементарной математике». Алгебра. В.Н.Литвиненко, А.Г.Мордкович.