МОУ «Лицей 17» Фестиваль «Портфолио» Автор: Шульгина Дарья ученица 7 б класса Руководитель: Зандер С.И. учитель математики Славгород, 2008

Тема: Тема: « Решето « Решето Эратосфена» Эратосфена»

Идея возникновения проекта: Ещё на уроке я поняла что такое простые и составные числа, но меня заинтересовали вопросы «а такие ли они простые «простые числа»?», сколько их вообще существует и можно ли обнаружить способ их нахождения Ещё на уроке я поняла что такое простые и составные числа, но меня заинтересовали вопросы «а такие ли они простые «простые числа»?», сколько их вообще существует и можно ли обнаружить способ их нахождения Мне была интересна и сама задача, и технология ИКТ, и сам продукт, т.е в виде чего будет представлена моя работа Мне была интересна и сама задача, и технология ИКТ, и сам продукт, т.е в виде чего будет представлена моя работа

Цель: Цель: Нахождение простых чисел через Нахождение простых чисел через освоение метода «Решето Эратосфена», с последующим созданием медиапрезентации и её использования на уроках математики освоение метода «Решето Эратосфена», с последующим созданием медиапрезентации и её использования на уроках математики

Задачи: Задачи: Собрать и изучить материал Собрать и изучить материал Применить понятия «кратные и делители числа» из предыдущего проекта Применить понятия «кратные и делители числа» из предыдущего проекта Рассмотреть отдельные варианты таблиц: до 48, до 100, до 150, до 200 Рассмотреть отдельные варианты таблиц: до 48, до 100, до 150, до 200 Открыть какие-либо закономерности и свойства в ряду чисел Открыть какие-либо закономерности и свойства в ряду чисел Обобщить полученные данные и сформулировать вывод Обобщить полученные данные и сформулировать вывод

Актуальность: Актуальность: Когда на форзаце учебника мы обнаружили таблицу простых чисел, то решили для себя, что авторы учебника придают этим числам большое значение и значит тема «простые числа» актуальна. И действительно, простые числа являются как бы «кирпичиками» из которых «строятся» остальные натуральные числа Когда на форзаце учебника мы обнаружили таблицу простых чисел, то решили для себя, что авторы учебника придают этим числам большое значение и значит тема «простые числа» актуальна. И действительно, простые числа являются как бы «кирпичиками» из которых «строятся» остальные натуральные числа И так как в настоящее время материал более наглядно представить можно с помощью компьютера, то решили применить ИКТ И так как в настоящее время материал более наглядно представить можно с помощью компьютера, то решили применить ИКТ

Методы: Методы: Поисковый Поисковый Метод (от частного к общему) Метод (от частного к общему) Технология: Технология: Исследование Исследование

Новизна исследования: Новизна исследования: Использование проектной технологии Использование проектной технологии Применение компьютера для нахождения простых чисел, применение эффекта анимации для показа определённой группы чисел Применение компьютера для нахождения простых чисел, применение эффекта анимации для показа определённой группы чисел

Объект исследования: Объект исследования: Метод поимки «простых чисел» Метод поимки «простых чисел» Предмет исследования: Предмет исследования: Простые, составные числа Простые, составные числа

Источники: Источники: Босова Л.Л. Информатика 6кл-Москва: БИНОМ,2007 Босова Л.Л. Информатика 6кл-Москва: БИНОМ,2007 Виленкин Н.Я. Математика 6кл-Москва: Просвещение,2002 Виленкин Н.Я. Математика 6кл-Москва: Просвещение,2002 Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных-Москва: Просвещение,1992 Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных-Москва: Просвещение,1992 Сост. Э-68 Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика-М.: Педагогика, 1989 Сост. Э-68 Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика-М.: Педагогика, 1989 Фотографии выполнены автором- Шульгиной Дашей, (панорамы на стенах лицея) Фотографии выполнены автором- Шульгиной Дашей, (панорамы на стенах лицея)

Практическое использование: На уроках математики при изучении тем: «разложение чисел на множители», «приведение дробей к общему знаменателю» На уроках математики при изучении тем: «разложение чисел на множители», «приведение дробей к общему знаменателю» Созданная таблица, красочно оформленная, поможет и другим учащимся разобраться в нахождении простых чисел Созданная таблица, красочно оформленная, поможет и другим учащимся разобраться в нахождении простых чисел

Гипотеза: Гипотеза: Мы освоим метод «Решето Эратосфе Мы освоим метод «Решето Эратосфе на», но, вероятнее всего, не сможем найти самое большое простое число на», но, вероятнее всего, не сможем найти самое большое простое число

Загадочные простые числа Со времен древних греков простые числа оказываются столь же привлекательными, сколь и неуловимыми. Математики постоянно испытывают разные способы их «поимки», но до сих пор единственным по-настоящему эффективным остаётся тот способ, который найден александрийским математиком и астрономом Эратосфеном. А Со времен древних греков простые числа оказываются столь же привлекательными, сколь и неуловимыми. Математики постоянно испытывают разные способы их «поимки», но до сих пор единственным по-настоящему эффективным остаётся тот способ, который найден александрийским математиком и астрономом Эратосфеном. А этому методу уже около 2 этому методу уже около 2 тыс. лет! Этим же вопросом тыс. лет! Этим же вопросом занимался и древнегреческий занимался и древнегреческий математик Эвклид математик Эвклид

Интерес древних математиков Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, к простым числам связан с тем, что любое число, либо простое, что любое число, либо простое, либо может быть представлено либо может быть представлено в виде произведения простых в виде произведения простых ЧИСЕЛ, Т.Е. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА- это такие «кирпичики», из которых из которых строятся остальные натуральные числа.

Почему решето? Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена и называл метод Эратосфена и называл ся «Решетом Эратосфена»: в ся «Решетом Эратосфена»: в этом решете «отсеиваются» этом решете «отсеиваются» простые числа от составных. простые числа от составных.

Определения Если одно целое число можно разделить на другое без остатка, то второе число называется делителем первого. Если одно целое число можно разделить на другое без остатка, то второе число называется делителем первого. Кратным натуральному числу а называют натуральное число, которое делится без остатка на а. Кратным натуральному числу а называют натуральное число, которое делится без остатка на а. Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число является составным, если оно имеет более двух делителей. Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число является составным, если оно имеет более двух делителей.

Произвольный способ нахождения простых чисел пр.ч пр.ч пр.ч пр.ч пр.ч пр.ч пр.ч.

В этом случае мы не можем найти закономерность обнаружения простых чисел, они встречаются неравномерно. Мы находим их «вручную» В этом случае мы не можем найти закономерность обнаружения простых чисел, они встречаются неравномерно. Мы находим их «вручную» Это очень интересное свойство простых чисел, они отказываются подчиниться какой либо закономерности (для примера: чётные числа встречаются через одно число в ряду натуральных чисел; числа кратные 3 встречаются через два числа и т.д.). Это очень интересное свойство простых чисел, они отказываются подчиниться какой либо закономерности (для примера: чётные числа встречаются через одно число в ряду натуральных чисел; числа кратные 3 встречаются через два числа и т.д.). Поэтому мы и обратились к варианту, который называется «Решетом Эратосфена» Поэтому мы и обратились к варианту, который называется «Решетом Эратосфена»

Решето Эратосфена 3 простых числа 2 простых чисел 1 простое число 2 простых чисел Всего-15 пр.чисел

Алгоритм нахождения простых чисел В этой таблице все простые числа, меньше 48 обведены кружками. Найдены они так. 1 имеет единственный делитель - себя, поэтому 1 не является простым числом, 2- наименьшее ( и единственное четное) простое число. Все остальные четные числа делятся на 2 и у них есть по крайней мере 3 делителя; поэтому могут быть вычеркнуты. Следующее не вычеркнутое число-3; оно имеет ровно 2 делителя, поэтому оно простое. Все остальные числа, кратные 3, вычеркиваются. Теперь первое не вычеркнутое число 5; оно простое, а все его кратные можно вычеркнуть. Продолжая вычеркивать кратные, можно отсеять все простые числа меньше 48. В этой таблице все простые числа, меньше 48 обведены кружками. Найдены они так. 1 имеет единственный делитель - себя, поэтому 1 не является простым числом, 2- наименьшее ( и единственное четное) простое число. Все остальные четные числа делятся на 2 и у них есть по крайней мере 3 делителя; поэтому могут быть вычеркнуты. Следующее не вычеркнутое число-3; оно имеет ровно 2 делителя, поэтому оно простое. Все остальные числа, кратные 3, вычеркиваются. Теперь первое не вычеркнутое число 5; оно простое, а все его кратные можно вычеркнуть. Продолжая вычеркивать кратные, можно отсеять все простые числа меньше 48.

А теперь найдем все простые числа меньше 100, для этого продолжим таблицу до 102, дополнительно определяя делится ли число на 2,3,5,7 А теперь найдем все простые числа меньше 100, для этого продолжим таблицу до 102, дополнительно определяя делится ли число на 2,3,5,7

Таблица от 49 до простое число 2 простых числа 1 простое число 2 простых числа 1 простое число 2 простых числа Всего-10 пр.чисел

Таблица от103 до150 2 простых числа 1 простое число 2 простых числа 1 простое число Всего-10 пр.ч.

Таблица от103 до 198 Таблица от103 до 198 -чётные числа -чётные числа -числа кратные 5 -числа кратные 5 (ПО ДИАГОНАЛЯМ СПРАВА НАЛЕВО) (ПО ДИАГОНАЛЯМ СПРАВА НАЛЕВО) -числа кратные 3 -числа кратные 3 -числа кратные 7 -числа кратные 7 (ПО ДИАГОНАЛЯМ СЛЕВА НАПРАВО) (ПО ДИАГОНАЛЯМ СЛЕВА НАПРАВО) -числа, которые -числа, которые пока не поддаются пока не поддаются классификации классификации -простые числа -простые числа

Итак, простыми числами от 1 до 200 являются 25 чисел на первой сотне натуральных чисел: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47 53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 Итак, простыми числами от 1 до 200 являются 25 чисел на первой сотне натуральных чисел: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47 53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 и 20 чисел на второй сотне: и 20 чисел на второй сотне: 101,103,107,109,113,127,131,137,139, ,103,107,109,113,127,131,137,139, ,163,167,173,179,181,191,193,197, ,163,167,173,179,181,191,193,197,199

Вывод Мы РАЗОБРАЛИСЬ, ЧТО ТАКОЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ («РЕШЕТО Эратосфена»), ПО ЕГО ПРИНЦИПУ СОЗДАЛИ СВОИ ТАБЛИЦЫ и нашли простые числа от 1 до 200, показали, что в одних рядах простых чисел больше, в других- меньше, т.е. встречаются они неравномерно. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: а существует ли самое последнее простое число? Мы РАЗОБРАЛИСЬ, ЧТО ТАКОЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ («РЕШЕТО Эратосфена»), ПО ЕГО ПРИНЦИПУ СОЗДАЛИ СВОИ ТАБЛИЦЫ и нашли простые числа от 1 до 200, показали, что в одних рядах простых чисел больше, в других- меньше, т.е. встречаются они неравномерно. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: а существует ли самое последнее простое число? Древнегреческий математик Евклид (IIIв. До н.э.) в своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число. Древнегреческий математик Евклид (IIIв. До н.э.) в своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число. Наша гипотеза оказалась верна, указать самое большое простое число невозможно Наша гипотеза оказалась верна, указать самое большое простое число невозможно

Рефлексия Мне очень понравилось проводить исследования с простыми числами, которые «привлекательны», но в тоже время и неуловимы, я попыталась «уловить», отсеять простые числа от составных пользуясь «Решетом Эратосфена» т.е. проделала работу, которой 2 тыс. лет назад занимался александрийский математик Эратосфен. В дальнейшем я планирую создать таблицы, по которым можно будет проверять делится ли число на 11, 13, 17 и т.д. Мне очень понравилось проводить исследования с простыми числами, которые «привлекательны», но в тоже время и неуловимы, я попыталась «уловить», отсеять простые числа от составных пользуясь «Решетом Эратосфена» т.е. проделала работу, которой 2 тыс. лет назад занимался александрийский математик Эратосфен. В дальнейшем я планирую создать таблицы, по которым можно будет проверять делится ли число на 11, 13, 17 и т.д.