Решение простейших тригонометрических неравенств

Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции обычно сводится к решению простейших неравенств вида: sin(t) ;)a; cos(t) ;)a; tg(t) ;)a; ctg(t) ;)a; Способы решения этих неравенств совершенно очевидным образом вытекают из представления тригонометрических функций на единичном круге.

Вид неравенстваМножество решений неравенства sinx > a (|a|

Неравенства : sin x > a, sin x a, sin x < a, sin x a

Тригонометрическое неравенство sin(t)a. Все точки P t единичной окружности при значениях t, удовлетворяющих данному неравенству, имеют ординату, большую или равную -1/2. Множество таких точек это дуга l, которая выделена жирным на рисунке ниже. Найдем условие принадлежности точки P t этой дуге. Точка P t лежит на правой полуокружности, ордината P t равна 1/2, и, следовательно, в качестве t 1 удобно взять значение t 1 =arcsin(-1/2)=-π/6. Представим себе, что мы совершаем обход дуги l от точки P t1 к P t2 против часовой стрелки. Тогда t 2 > t 1, и, как легко понять, t 2 =π- arcsin(-1/2)=7*π/6. Таким образом, получаем, что точка P t принадлежит дуге l, если -π/6 t 7*π/6. Таким образом, решения неравенства, принадлежащие промежутку [-π/2 ; 3*π/2] длиной 2*π таковы: -π/6 t 7*π/6. Вследствие периодичности синуса остальные решения получаются добавлением к найденным чисел вида 2πn, где n - целое. Таким образом, мы приходим к ответу: -π/6+2πnt7π/6+2πn, n - целое.

Пример 1 Решите неравенство Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит Для x [0; 2π] решением данного неравенства будут Ясно также, что если некоторое число x будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на 2π n то sin x также будет не меньше Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить 2π n, где Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все где Ответ. где

Тригонометрическое неравенство cos(t)

Тригонометрическое неравенство tg(t)a Рассмотрим способ решения тригонометрического неравенства с тангенсом на примере неравенства tg(t)1. период тангенса равен π Найдем сначала все решения данного неравенства, принадлежащие промежутку (-π/2; π/2), а затем воспользуемся периодичностью тангенса. Для выделения всех точек P t правой полуокружности, значения t которых удовлетворяют данному неравенству, обратимся к линии тангенсов. Если t является решением неравенства, то ордината точки T - луч AT (см. рисунок ниже). Множество точек P t, соответствующих точкам этого луча, - дуга l, выделенная на рисунке жирным. Следует отметить, что точка P t1 принадлежит рассматриваемому множеству, а P t2 нет. Найдем условие, при котором точка P t принадлежит дуге l. t 1 принадлежит интервалу (-π/2 ; π/2), и tf(t)=1, следовательно t 1 =arctg(1)=π/4. Значит t должно удовлетворять условию - π/2

Сабитова Файруза Рифовна преподаватель математики ГАОУ СПО «Сармановский аграрный колледж»