Ряды Фурье Лекции 15, 16

Определение ортогональной системы функций Тригонометрическая система функций называется ортогональной на отрезке [-, ] и на всяком отрезке длины 2 тоже в том смысле, что интеграл по этому отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а от одинаковых-π.

Примеры Рассмотрим несколько примеров таких интегралов. в силу нечетности подынтегральной функции.

Определение ряда Фурье Тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Фурье, т. е. называется рядом Фурье периодической с периодом 2π функции.

Определение кусочно- монотонной функции Функция f(x) называется кусочно- монотонной на отрезке [a,b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы, в каждом из которых функция монотонна. Примеры кусочно-монотонных функций:1), 2)sinx, 3)cosx.

Достаточный признак сходимости ряда Фурье Если периодическая с периодом 2 функция 1) кусочно-монотонна, 2) непрерывна на отрезке [-, ] или имеет на нем конечное число точек разрыва 1-го рода, то ряд Фурье этой функции сходится во всех точках этого отрезка. Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции, а в точках ее разрыва сумма ряда равна полусумме левостороннего и правостороннего пределов функции, т.е., если x = c – точка разрыва, то.

Разложение в ряды Фурье четных функций Если f(x) –четная функция, то функции являются нечетными, а функции -четными при любых п=1,2,…. Тогда в силу свойства определенного интеграла :, если f(x) – нечетна, и, если f(x) – четна

Продолжение получим Тогда имеем:, где для четной функции.

Ряд Фурье нечетной функции Если функция f(x) является нечетной и периодической с периодом 2π, то ее ряд Фурье имеет вид:, где коэффициенты

Ряд Фурье периодической с периодом 2l функции Если функция f(x) имеет период 2l, где l-любое число, большее нуля, то ее ряд Фурье можно получить из ряда Фурье периодической с периодом 2 π функции, положив. Тогда функция имеет период 2 π. В самом деле: π

Продолжение Разложим в ряд Функцию, а затем вернемся к старой переменной. Имеем, где,,

Ряд Фурье четной функции Аналогично тому, как получается ряд Фурье периодической с периодом 2π функции, можно получить ряд функции с периодом 2l. Тогда имеем следующие формулы:, где

Ряд Фурье нечетной функции Если функция является нечетной, то ее ряд Фурье является рядом по синусам и его можно записать в следующем виде:, где

Разложение в ряд Фурье непериодических функций Если функция не является периодической, то эту функцию доопределяют до периодической. Затем получившуюся периодическую функцию раскладывают в ряд Фурье, который будет сходиться к функции f(x) на промежутке, где задана эта функция, если, конечно, она удовлетворяет условиям достаточного признака сходимости ряда Фурье. При этом доопределить функцию до периодической можно различными способами. В частности, ее можно доопределить как четную или как нечетную. Как это можно сделать, рассмотрим на конкретном примере.

Пример разложения функции в ряд Фурье 1).Разложить функцию у=х в ряд Фурье а) по синусам и б) по косинусам. Доопределим функцию до периодической нечетным образом.

Решение Тогда, где Вычислим интеграл по частям:

Продолжение Таким образом,, а, где или де ли

Продолжение Доопределим теперь f(x) до периодической функции четным образом. Тогда.

Продолжение При четном n выражение в скобках равно нулю и, значит,, а при – нечетном, т.е. при,. Тогда Мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке (0, ).