ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕУРАВНЕНИЯ

Верно ли, что:

Имеют ли смысл выражения:

Решить уравнение:

Пример 1. Решить уравнение 2 sin 2 x + sinx - 1 = 0. Решение. Введём новую переменную t = sinx. Тогда данное уравнение примет вид 2t 2 + t - 1 = 0. Решим его: D = = 9, Cледовательно, sinx = 1/2 или sinx = -1.

1) sinx = 1/2, 2) sinx = -1,

Решение. Заменяя sin 2 x на 1-сos 2 x, получим квадратное уравнение относительно сosx. 6 ( 1-cos 2 x ) + 5 cosx - 2 = 0, -6 cos 2 x + 5cosx + 4 = 0, 6 cos 2 x - 5cosx - 4 = 0. Пусть cos x = t, тогда 6t 2 - 5t - 4 = 0, t 1 = - 1/2, t 2 = 4/3. Пример 2. Решить уравнение 6sin 2 x + 5 cosx - 2 = 0.

Cледовательно, сos x = - 1/2 или cos x = 4/3. Уравнение cos x = 4/3 не имеет решений, так как 4/3 > 1. Решая уравнение сos x = -1/2, находим:

Пример 3. Решить уравнение tgx + 2ctgx = 3. Решение. Поскольку ctgx = то уравнение можно записать в виде: Обозначим tgx через t. Получим уравнение которое приводится к квадратному t 2 - 3t + 2 = 0,

t 2 - 3t + 2 = 0. По теореме, обратной теореме Виета, t 1 = 2, t 2 =1.

Пример 4. sin 2 4x = 1/4 cos 2x =1/2 Решение. Х= ±π/6 + πn; n Є Ζ

Пример 5. 3 sin x +4 cos x =0; Решение. Поделим обе части уравнения на cos x 0. 3 tg x + 4 =0 ; tg x = -4/3 ;