Пусть графически задана функция f(x), непрерывная на своей области определения D(f) У= f(x) 0 x y

Будем рассматривать её на отрезке y У= f(x) 0 x а b

Построим фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x = а, x = в и у = 0. Назовём её криволинейной трапецией ABCD У= f(x) 0 x Поставим задачу нахождения её площади S аb x=a B C DA x=b y=0

Разделим основание [ А D] трапеции ABCD точками х 0 =а;х 1 ;х 2 ;…; х n = b ( x 0 = a

Каждой полосе поставим в соответствие прямоугольник, одна сторона которого есть отрезок [x i ;x i+1 ], а смежная сторона – это отрезок f(x i ) (i=0…n-1) 0 x y В С АD Криволинейная трапеция заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников x5x5 x6x6 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x7x7 x0x0 xnxn

Основание i-го прямоугольника равно разности x i+1 -х i, которую мы будем обозначать через Высота i-го прямоугольника равна f(x i ) 0 x y В С A D x5x5 x6x6 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x7x7 x0x0 xnxn

Площадь i- го прямоугольника равна: Сложив площади всех прямоугольников, получаем приближенное значение площади S криволинейной трапеции:

т.к площадь ступенчатой фигуры почти совпадает с площадью криволинейной трапеции: 0 x y ab 0 x y a b

Точное значение площади S получается как предел суммы площадей всех прямоугольников Для обозначения предельных сумм вида f(xi) xi немецки й учёный В.Лейбниц ввёл символ - интеграл функции f(x) от а до b

Если предел функции f(x) существует, то f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b]. Числа а и b называются нижним и верхним пределом интегрирования. При постоянных предела х интегрирования определённый интеграл представляет собой определённое число.

Задача Вычислить площадь фигуры F, ограниченной л иниями y= 4-x 2 и y= x 2 -2x 1) Площадь плоской фигуры

1) Построим фигуру F. Для этого построим линии, ограничивающие эту фигуру D 2 1 B C A 4 Y A X

Найдем точки пересечения этих парабол A(-1;3); B(2;0) Искомую площадь S f можно найти как алгебраическую сумму площадей криволинейных трапеций

2) Объем тела вращения Пусть тело образуется при вращении вокруг оси OX криволинейной трапеции x 1 ABx 2 Любое сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ox будет круг, радиус которого равен соответствующей ординате точки кривой Y=f(x) Площадь сечения S(x) равна y 2, т.е. S(x)= f 2 (x) Объем тела вращения может быть вычислен по формуле

ЗАДАЧА Вычислить объем шара, получаемого вращением полуокружности вокруг оси OX Построим полуокружность yX R -R R При вращении этой полуокружности вокруг OX получается сфера, ограничивающая шар. Объем шара найдем по формуле Ответ: Объем шара (куб.ед.)

Авторские права принадлежат НОУ «Колледж Мосэнерго»