П ЛОЩАДЬ Подготовил Рокицкий Максим ученик 9 класса СПб лицей 488 ( учитель Курышова Н.Е. ) Геометрия глава 6

С ОДЕРЖАНИЕ 1. Единица измерения Единица измерения 2. Свойства площадей Свойства площадей 3. Площадь прямоугольника Площадь прямоугольника 4. Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма 5. Площадь треугольника Площадь треугольника 6. Площадь трапеции Площадь трапеции 7. Теорема Пифагора Теорема Пифагора 8. Теорема, обратная теореме Пифагора Теорема, обратная теореме Пифагора

Е ДИНИЦА ИЗМЕРЕНИЯ Основная единица измерения – м 2 (мм 2, см 2, км 2, ар, га) 1 см x 1 см = 1 см 2 1 мм 2 = 0,01 см 2 1 см 2 = 0,0001 м 2 1 км 2 = м 2 1 ар = 100 м 2 1 гектар = м 2 1 акр = 4046, м 2 Назад 1 см S = 6 см 2

С ВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ 1. Равные многоугольники имеют равные площади. 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих много- угольников. 3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Назад A B C D E S1S1 S2S2 S ABCDE = S 1 + S 2 A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 S2S2 A B C D S1S1 ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 S 1 = S 2 S a b S = ab a = b S = a a = a 2

П ЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА Дано: прямоугольник со сторонами a и b. Доказать: S = ab. Доказательство: (a + b) 2 = S + S + a 2 + b 2 а 2 + 2ab +b 2 = 2S + a 2 + b 2 S = ab. Теорема доказана. Назад S a b S a2a2 b2b2 a a a b b b Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Задача

Задача: Найти площадь прямоугольника со сторонами 4 и 2. Дано: прямоугольник со сторонами a и b, a = 4 см, b = 2 см. Найти: S. Решение: S = ab S = 4 см 2 см = 8 см 2 Ответ: S = 8 см 2 Назад S a b К теореме

П ЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Дано: параллелограмм ABCD. Доказать: S = AD BH. Доказательство: ABH = DCK S ABCD = S HBCK S = AD BH. Теорема доказана. Назад A D BC H K )) 12 Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Задача

Задача: Найти площадь параллелограмма, если основание 8 см, а высота 5 см. Дано: параллелограмм ABCD, BH - высота AD = 8 см, BH = 5 см. Найти: S. Решение: S = AD BH S = 8 см 5 см = 40 см 2 Ответ: S = 40 см 2 НазадК теореме A D BC H

П ЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА Дано: ABC, AB – основание, CH – высота. Доказать: S = ½AB CH Доказательство: ABC = DCB S ABC = S DCB S ABC = ½ S ABDC S = ½AB CH. Теорема доказана. Назад D C A H B Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Задача

Задача: Найти площадь треугольника с основанием 10 см и высотой 8 см. Дано: ABC, AB = 10 см, CH = 8 см. Найти: S. Решение: S = ½AB CH S = ½ 10 см 8 см = = ½ 80 см 2 = 40 см 2 Ответ: S = 40 см 2 НазадК теореме C A H B

П ЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ Дано: трапеция ABCD; AD и BC – основания. Доказать: S = ½(AD + BC) BH Доказательство: S ABD = ½ AD BH, S BCD = ½ BC DH 1 Так как DH 1 = BH, то S BCD = ½ BC BH S = ½(AD + BC) BH. Теорема доказана. Назад H1H1 H BC A D Теорема: Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Задача

Задача: Найти площадь трапеции с основаниями 4 и 6 и высотой 5. Дано: трапеция ABCD, BC = 4 см, AD = 6 см BH = 5 см. Найти: S. Решение: S = ½(AD + BC) BH S = ½(4 см + 6 см) 5 см = = ½ 10 см 5 см = ½ 50 см 2 = 25 см 2 Ответ: S = 25 см 2 НазадК теореме BC A D

Т ЕОРЕМА П ИФАГОРА Дано: a, b, c – стороны прямоугольного треугольника Доказать: с 2 = a 2 + b 2 Доказательство: S = 4 ½ ab + c 2 (a + b) 2 = 2ab + c 2 с 2 = a 2 + b 2. Теорема доказана. Назад )) ) cb a c b ) a c b ) a b c ) a Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Задача

Задача: Найти гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 4 и 3. Дано: ABC, AC = 3 см, BC = 4 см, C – прямой. Найти: AB. Решение: AB 2 = AC 2 + BC 2 AB 2 = = = 25 AB = = 5 Ответ: AB = 5 см НазадК теореме CB A

Дано: ABC; AB 2 = AC 2 + BC 2 Доказать: С – прямой угол Доказательство: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC A 1 B 1 2 = AC 2 + BC 2 A 1 B 1 2 = AB 2, A 1 B 1 = AB Теорема доказана. Назад Теорема, обратная теореме Пифагора C A B C1C1 B1B1 A1A1 Теорема: Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.