Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Введение в теорию графов 11 класс начать

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Введение в теорию графов Граф отображает элементный состав системы и структуру связей.

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Граф - это множество точек или вершин и множество линий или ребер, соединяющих между собой все или часть этих точек. Вершины, прилегающие к одному и тому же ребру, называются смежными. Два ребра, у которых есть общая вершина, также называются смежными (или соседними). Рис. 1. Граф с шестью вершинами и семью ребрами Понятие графа

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Петля это дуга, начальная и конечная вершина которой совпадают. Пустым (нулевым)называется граф без ребер. Полным называется граф, в котором каждые две вершины смежные. Элементы графа

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Нулевой граф Граф, состоящий из «изолированных» вершин, называется нулевым графом Рис. 2. Нулевой граф

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Неполный граф Графы, в которых не построены все возможные ребра, называются неполными графами. Рис. 3. Неполный граф

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Степень графа Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины. Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной, а чётную степень – чётной. Если степени всех вершин графа равны, то граф называется однородным. Таким образом, любой полный граф однородный.

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Заметим, что если полный граф имеет n вершин, то количество ребер равно n(n-1)/2 Задание 1. Существует ли полный граф с семью ребрами? Решение: Зная количество ребер, узнаем количество вершин. n(n-1)/2=7. n(n-1)=14. Заметим, что n и (n-1) – это два последовательных натуральных числа. Число 14 нельзя представить в виде произведения двух последовательных натуральных чисел, значит, данное уравнение не имеет решений. Следовательно, такого графа не существует. ОТВЕТ

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» 1.Построить полный граф, если известно что он содержит в себе 7 вершин. 2.Составьте схему проведения розыгрыша кубка по олимпийской системе, в которой участвуют 10 команд. Задание 2.

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Ориентированный граф Два ребра, у которых есть общая вершина, также называются смежными (или соседними). Граф называется ориентированным (или орграфом), если некоторые ребра имеют направление. Это означает, что в орграфе некоторая вершина может быть соединена с другой вершиной, а обратного соединения нет. Если ребра ориентированы, что обычно показывают стрелками, то они называются дугами. Рис. 4. Ориентированный граф

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Рис. 5. Примеры неориентированного и ориентированного графов (А и Б) Ориентированный и неориентированный графы

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Задание 3.Построить граф по заданному условию: В соревнованиях по футболу участвуют 6 команд. Каждую из команд обозначили буквами А, B, C, D, E и F. Через несколько недель некоторые из команд уже сыграли друг с другом: A с C, D, F; B c C, E, F; С с A, B; D с A, E, F; E с B, D, F; F с A, B, D. ОТВЕТ

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Не следует путать изображение графа с собственно графом (абстрактной структурой), поскольку одному графу можно сопоставить не одно графическое представление. Изображение призвано лишь показать, какие пары вершин соединены рёбрами, а какие нет. Запомнить!

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Изображение графа Один и тот же граф может выглядеть на рисунках по-разному. На рисунке 6 (а, б, в) изображен один и тот же граф. Рис. 6. Примеры изображения графа

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Задание 4. Определить изображают ли фигуры на рисунке один и тот же граф или нет. 1)2)2)3)3) ОТВЕТ Рисунок 1 и рисунок 2 являются изображениями одного графа. Рисунок 3 изображением другого графа

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Путём в графе называется такая последовательность ребер, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину и никакое ребро не встречается более одного раза. Путь в графе

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Задание 5. 1.(А1 А4); (А4 А5). 2.(А1 А2); (А2 А4); (А4 А5). 3.(А1 А4); (А4 А2); (А2 А1); (А1 А4); (А4, А5). 4.(А1 А4); (А4 А2); (А2 А1); (А1 А3); (А3 А4); (А4, А5). Определить какая из перечисленных последовательностей путём не является. ОТВЕТ Третья последовательность (А1 А4); (А4 А2); (А2 А1); (А1 А4); (А4, А5).

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Путь называется простым, если он не проходит ни через одну из вершин графа более одного раза. 1.(А1 А4); (А4 А5). 2.(А1 А2); (А2 А4); (А4 А5). 3.(А1 А4); (А4 А2); (А2 А1); (А1 А4); (А4, А5). 4.(А1 А4); (А4 А2); (А2 А1); (А1 А3); (А3 А4); (А4, А5). Задание 6. Определите, какие последовательности ребер являются путями, и какие из них простые. Если последовательность не является путем укажите почему. Первая, вторая и четвертая последовательности являются путями, а третья нет, т.к. ребро (А1, А4) повторяется. Первая и вторая последовательность являются простыми путями, а четвертая нет, т.к. вершины А1 и А4 повторяются. ОТВЕТ

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» Понятие цикла в графе Циклом называется путь, в котором совпадают его начальная и конечная вершины. Простым циклом в графе называется цикл, не проходящий ни через одну из вершин графа более одного раза.

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» a) 4 ребра; b) 6 ребер; c) 5 ребер; d) 10 ребер. Какие из этих циклов являются простыми? Задание 7. Назовите в графе циклы, содержащие ОТВЕТ

Алексеева Е.В., учитель информатики и ИКТ МОУ «Сланцевская СОШ 3» ОТВЕТ a)(AB, BC, CE, EA), (CD, DA, AB, BC), (EB, BC, CD, DE) и т.д. – простые циклы. b)(DB, BE, EA, AB, BC, CD), (EC, CA, AB, BC, CD, DE) и т.д. – циклы. c)(AB, BC, CD, DE, EA), (AC, CE, EB, BD, DA) и т.д. – простые циклы. d)(AC, CE, EB, BD, DA, AB, BC, CD, DE, EA), (EB, BD, DA, AC, CE, EA, AB, BC, CD, DE) и т.д. – циклы. Решение: