Тела вращения Сфера Шар

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. О- ц ентр сферы R- р адиус сферы АВ- д иаметр сферы 2R=АВ

Сферу можно получить вращением полуокружности АСВ вокруг диаметра АВ

Шаром называется тело ограниченное сферой. Центр, радиус и диаметр сферы называются также диаметром шара.

Задана прямоугольная система координат Оху и дана некоторая поверхность F, например плоскость или сфера. Уравнение с тремя переменными x, у, z называется уравнением поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности. См. далее

Выведем уравнение сферы радиуса R с центром С (x 1 ; y 1 ; z 1 ) M (x; y; z) - произвольная точка сферы x z y 0

Расстояние от произвольной точки M (x; y; z)до точки С вычисляем по формуле МС= (x-x 1 ) 2 +(y-y 1 ) 2 +(z-z 1 ) 2

Если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС 2 =R 2 т.е. координаты точки М удовлетворяют уравнению: R 2 =(x-x 1 ) 2 +(y-y 1 ) 2 +(z-z 1 ) 2 Если точка М не лежит на данной сфере, то МС 2 = R 2 т.е. координаты точки М не удовлетворяют данного уравнения.

В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С (x 1 ; y 1 ; z 1 ) имеет вид R 2 =(x-x 1 ) 2 +(y-y 1 ) 2 +(z-z 1 ) 2

Взаимное расположение сферы и плоскости Исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от её центром до плоскости.

Взаимное расположение сферы и плоскости z y x O C R y x z C z y x C O O 2 2 dR См. далее

Пусть радиус сферы - R, а расстояние от её центра до плоскости a - d Введём систему координат, так чтобы плоскость Оху совпадала с плоскостью α,а центр сферы лежал по Оz, тогда уравнение плоскости α :z=0, а уравнение сферы с учётом (С имеет координаты (0;0;d) ) х 2 + у 2 + ( z-d ) 2 =R 2

z=0 х 2 +у 2 +(z-d) 2 =R 2 Составим систему уравнений : Подставив z=0 во второе уравнение, получим : х 2 +у 2 =R 2 -d 2

Возможны три случая : 1) d0, и уравнение х 2 +у 2 =R 2 -d 2 является уравнением окружности r = R 2 -d 2 с центром в точке О на плоскости Оху. В данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности.

Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.

Ясно, что сечение шара плоскостью является круг. Если секущая плоскость проходит через центр шара, то d=0 и в сечении получается круг радиуса R, т.е. круг, радиус которого равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом шара.

Если секущая плоскость не проходит через центр шара, т о d>0 и радиус сечения r = R 2 -d 2, меньше радиуса шара. r - радиус сечения

2) d=R,тогда R 2 -d 2 =0, и уравнению удовлетворяют только х=0, у=0, а значит О(0;0;0)удовлетворяют обоим уравнениям,т.е. О- единственная общая точка сферы и плоскости.

Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

3) d>R, тогда R 2 -d 2

Следовательно, если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.