Различные подходы к доказательству теоремы Пифагора Автор проекта: Мигачева Ольга, ученица 9А класса Лаишевской СОШ 3 Лаишевского района Республики Татарстан Руководитель: Мигачева Галина Анатольевна

Чертеж к теореме Пифагора в средневековой арабской рукописи

Теорема Пифагора в древнейшем китайском трактате «Чжоу-би» Теорема Пифагора упоминается в первой части самого древнего дошедшего до нас китайского математико-астрономического сочинения «Чжоу-би», написанного около 1100 лет до н.э. Прокл в своем комментарии к «Началам» Евклида пишет относительно предложения о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, следующее: «Если слушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору. Рассказывают, что в честь этого открытия он принес в жертву быка». О том же рассказывает и другой греческий историк древности – Плутарх (I в.). На основе этих и других преданий долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна и назвали ее поэтому «теоремой Пифагора»… Однако теперь известно, что эта важнейшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора.

Если на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника построить соответствующие квадраты, то квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах. Геометрическое доказательство Евклида

Доказательство: E СВ А K G F H D DBC =FBA = 90 0 DBC +ABC = FBA + ABC Значит, DBA = FBC. Но AB=FB, BC=BD. ABD=ΔFBC (по двум сторонам и углу, заключенному между ними).

E СВ А K G F H D J L В треугольнике ABD высота, проведенная из вершины А на сторону BD, равна длине отрезка BJ. S ABD =½ BJ BD, S BJLD =BJ BD. Значит, S ABD =½ S BJLD

E СВ А K G F H D J L В треугольнике FBC высота, проведенная из вершины C на сторону BF, равна длине отрезка AB. S FBC =½ AB BF, S ABFH =AB BF. Значит, S FBC =½S ABFH Итак, квадрат ABFH равновелик прямоугольнику BJLD. (S BJLD =S ABFH )

E СВ А K G F H D J L BCE = ACK = 90 0 BCE + ACB = ACK + ACB Значит, ACE = BCK. Но AC=KC, BC=CE ACE=ΔKCB (по двум сторонам и углу, заключенному между ними).

E СВ А K G F H D J L В треугольнике ACE высота, проведенная из вершины А на сторону CE, равна длине отрезка JC. S ACE =½ CJ CE, S JCEL =CJ CE. Значит, S ACE =½ S JCEL

E СВ А K G F H D J L В треугольнике BKC высота, проведенная из вершины B на сторону CK, равна длине отрезка AC. S BCK =½ AC CK, S ACKG =AC CK. Значит, S BCK =½ S ACKG Итак, квадрат ACKG равновелик прямоугольнику JCEL. (S ACKG =S JCEL )

E СВ А K G F H D J L Но S BJLD + S JCEL = S BCED, Тогда S ABFH + S ACKG = S BCED. Сумма площадей квадратов ABFH и ACKG, построенных на катетах, равна площади квадрата BCED, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC.

Доказательство Анариция, основанное на том, что равносоставленные фигуры равновелики Чертеж к доказательству Анариция Если на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника построить соответствующие квадраты, то квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах. Доказательство основывается на том, что равносоставленные фигуры равновелики: квадраты, построенные на катетах и гипотенузе, разбиваются на многоугольники так, что каждому многоугольнику из состава квадрата на гипотенузе соответствует равный многоугольник одного из квадратов на катетах. Достаточно посмотреть на чертеж, чтобы понять все доказательство (см. рис.). Это доказательство дал багдадский математик и астроном X в. ан-Найризий (латинизированное имя – Анариций).

Доказательство, основанное на теории подобия

Из подобия треугольников ACD и CAB следует: Из подобия треугольников ABC и DCB следует: Сложив почленно равенства, получим: Доказательство, основанное на теории подобия

Алгебраический метод Бхаскары Пусть ABCD – квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника ABF (AB=c, BF=a, AF=b) Пусть DE перпендикулярна к AF, CH – к DE, BG – к CH. Тогда равны треугольники AFB, BGC, CHD, DEA. EF=FG=GH=HE=b-a.