Муниципальное образовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа 30 г. Норильска

ПРЕДСТАВЛЯЕТ

«Нетрадиционные способы решения квадратных уравнений» исследовательская работа творческого характера и практической направленности. Выполнили: Марченко Руслана, Митякина Дарья, Капелько Евгений, Халтурина Екатерина – учащиеся 9«А»класса, члены школьного НОУ «Эрудит» МОУ «СОШ 30». Научный руководитель: Маковская Евгения Васильевна, учитель математики первой категории МОУ «СОШ 30», г. Норильск год.

Цели и задачи работы. Целью нашей работы является: рассмотрение некоторых нестандартных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах, которые я сам подбирал, многие из них сам составлял, сам решал; составить алгоритм логической цепочки действий учащегося при решении квадратного уравнения. желание поделиться результатами своей работы со своими одноклассниками; возможность увидеть, как воспринимается материал, и каков процент учащихся будет пользоваться предложенными способами; и возможность практического применения материала, изложенного в работе на уроках математики.

Основная часть работы. Квадратные уравнения, которые решаются по свойству коэффициентов. Задачи, решаемые с помощью теоремы Виета. Решение квадратных уравнений способом замены переменной.

Свойства коэффициентов. Если коэффициенты квадратного уравнения ax² +bx + c = 0 (a0) удовлетворяют условию a + b + c = 0, то корни такого квадратного уравнения равны:X 1 =1, X 2 =c/a. Если же – такому условию: a - b + c = 0, то корни таковы: X 1 =-1, X 2 =-c/a.

Примеры. Случай1: a + b + c = х²+8х-9=0. Решение : a +b+c =1+8-9=0 х 1 =1,х 2 =-9/1=-9. Ответ :х 1 =1,х 2 = х²-(m+5)х+m=0. Решение: a +b + c = 5 -(m+5) +m = 5-m-5+m=0 Ответ :х 1 =1,х 2 =m/5.

Примеры. Случай2: a - b + c = х² - 9х -14=0. Решение: a -b+c =5+9-14=0 х1=-1,х2=14/5. Ответ:х1=-1,х2=14/ х²+(3-n)х-n=0. Решение: a -b + c = 3 -(3-n) -n = n -n=0 х1=-1,x2=n/3. Ответ:х1=-1,х2=n/3. 3. (8-d)х² - dх -8=0. Решение: a -b + c = (8-d)+d-8 = 8-d+d-8 =0 х1=-1,х2=8/8-d Ответ:х1=-1,х2=8/8-d.

РазделII. Оригинальные задачи с геометрическим смыслом, решаемые с помощью теоремы Виета. Задача1. 1). Найдите площадь прямоугольника, длины сторон которого численно равны корням уравнения 2x² - 17x + 3 = 0. 1) 32; 2) 1,52 ; 3) 3 ; 4) 8,52; 5) 172. Решение. Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон. По условию длины сторон данного прямоугольника численно равны корням данного уравнения. Значит, применив теорему Виета, по которой произведение корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равно c/a, получим: S прямоугольника = 1,52, то есть верным является второй вариант ответа.А именно: 1,52.

Задача 2. Найдите периметр параллелограмма, длины сторон которого численно равны корням уравнения 6x² - 12x + 3 = 0. 1) 26; 2) 24; 3) 46 ; 4) 6 ; 5) 6. Решение. Полупериметр, p, параллелограмма - это сумма длин двух его соседних сторон. По условию длины сторон данного параллелограмма численно равны корням данного уравнения. Значит, по теореме Виета, их сумма равна X 1 + X 2 =26. Но X 1 + X 2 = p, следовательно, P = 2p = 2 26=46. Значит, верным есть третий вариант ответа, то есть:46.

РазделIII. Решение квадратного уравнения способом замены переменной. 1). Решить уравнение: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24. Решение: Умножим первый двучлен на четвёртый, затем второй на третий и сделаем замену переменной, получим: ( x² + 5x + 4)( x² + 5x + 6) = 24, Пусть x² + 5x = y, тогда ( y + 4)( y + 6) = 24, y² + 10y + 24 =24, y² + 10y = 0, y ( y + 10) = 0 y = 0 или y + 10 =0 y = -10. Вернёмся к переменной x, получим два уравнения: x² + 5x =0 и x² + 5x = -10. x ( x + 5) = 0 x² + 5x +10 = 0. x = 0 или x + 5 = 0 D = 25 – 40 < 0 уравнение не имеет действительных корней x = -5. Ответ: X1 = 0. X2 =- 5.

Разложение квадратного трёхчлена на множители способом замены переменной 2) Представить выражение x(x + 1)(x + 2)(x + 3) – 15 в виде произведения двух многочленов. Решение: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) – 15 = = x(x +3)(x + 1)(x + 2) -15 = = (x² + 3x)( x² + 3x +2) – 15. Пусть x² + 3x = t, тогда получим: (x² + 3x)( x² + 3x +2) – 15 = t(t + 2) – 15 = t² +2t – 15. Найдём теперь корни полученного квадратного трёхчлена. Для этого решим квадратное уравнение: t² +2t – 15 = 0. По теореме Виета t1 = -5, t2 = 3. Значит, t² +2t – 15 = (t +5)(t – 3). Вернёмся к переменной x, получим ответ на вопрос задачи: x (x + 1)(x + 2)(x + 3) – 15 = (x² + 3x +5)( x² + 3x -3).

Алгоритм решения квадратного уравнения 1.Проверить каким является квадратное уравнение полным или неполным. 2.Если уравнение неполное, то решаем, применяя свойства коэффициентов или правила нахождения корня уравнения, определив какому из трех случаев(ах²=0, ах²+bх=0 или ах²+с=0) соответствует данное уравнение. 3. Если уравнение полное, то решаем а)либо по свойствам коэффициентов, либо по теореме Виета, в) либо применяя формулу дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения. Если квадратное уравнение задано в неявном виде, например, биквадратное или в таком виде как в разделе III, то придётся применить способ замены переменной.

Заключение. Надеемся, что наша работа не останется незамеченной всеми, кто любит математику, любит решать задачи разных уровней. Выражаем признательность нашему преподавателю математики и научному руководителю Евгении Васильевне Маковской за помощь, оказанную нам при выполнении данной работы и за те ценные указания, которые мы получали от неё в процессе работы. Нам также очень хотелось бы, чтобы наша работа послужила учащимся при подготовке к урокам и, в перспективе, к экзаменам, а также преподавателям при подготовке к урокам.

Спасибо за внимание! =)