презентация учителя математики Верхнегерасимовской СШ І-ІІІ ступеней Горбань Натальи Геннадиевны

Понятие «производная» возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики. Готфрид Вильгельм фон Лейбниц Иcаак Ньютон 25 декабря марта июля ноября 1716, 2

Используя методы дифференциального исчисления английский астроном, математик Эдмон Галлей ещё в XVII веке предсказал возвращение кометы Галлея. (что, увы, было уже после его смерти). Комета действительно возвратилась, как было предсказано, и позже была названа в его честь. Комета Галлея вернется во внутреннюю Солнечную систему в следующий раз в 2061 году. В 1705 году Эдмонд Галлей предсказал, что комета, которую наблюдали в 1531, 1607 и 1682 годах, должна возвратиться в 1758 году 3

Найти производную функции Разминка 4

Признак возрастания и убывания функции = 5

6 x 0 y1 12 По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках производная положительна, на каких отрицательна. Каждая из функций определена на R Ответ: на

7 По графику производной функции определите промежутки возрастания и промежутки убывания функции Ответ: на 1

8 x 0 y12 На рисунке изображен график дифференцируемой функции y = h(x). Определите знак производной функции на промежутках

9 Укажите критические точки функции, используя график производной функции. Ответ: при

1 1 0 х у у х y=f(x) y=g(x) Касательная в таких точках графика параллельна оси ОХ, а поэтому производная в этих точках равна 0; Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или производная не существует, называются критическими. 10 Касательная в таких точках графика не существует, а поэтому производная в этих точках не существует.

производная равна нулю (стационарные точки) критические точки производная не существует максимума «+» на «-» минимума «-» на «+» перегиба знак не меняется максимума «+» на «-» минимума «-» на «+» излома знак не меняется плавные линии угловатые линии точка 11

Достаточное условие существования экстремума функции: 1)Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) ее производная меняет знак с «+» на «-», то х 0 – точка максимума функции f(x). 1) Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) ее производная меняет знак с «-» на «+», то х 0 – точка минимума функции f(x). 3) Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) ее производная не меняет знака, то в точке х 0 экстремума нет. 12

Исследование функций с помощью производной и построение графиков функций.

Схема исследования функции 1.Найти область определения функции; 2.Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность; 3.Найти точки пересечения графика функции с осями координат; 4.Исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции; 5.Найти точки экстремума и экстремальные значения функции; 6.Построить график функции. 14

x возрастает убывает Построить эскиз графика функции, зная, что y X Не существует maxmin

Образец выполнения работы. Оформление работы учеником. а) ; б) в) критические точки: - ; 1. г) по результатам исследования составляем таблицу: х -31 у / (х)+0–0+ у(х) - экстремум maxmin д) строим график функции: 1 3 х у

Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на отрезке [a;b] Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции f(x) на промежутке [a;b], нужно 1.вычислить её значения f(a) и f(b) на концах данного промежутка 2. вычислить её значения в критических точках, принадлежащих этому промежутку 3. выбрать из них наибольшее и наименьшее. Записывают так: max f(x) и min f(x) [a;b] [a;b] 18