Работу выполнил: Кудинов Виктор, 10 класс ГОУ СОШ 1266 г. Москвы. Руководитель: Хавжу Инна Сергеевна, учитель математики

Содержание: 1. Свойства логарифмов. 2. Способы решения. 3. П ри решении уравнений важно помнить...

При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции y = log a x, a > 0, a 1 : 1) Область определения: x > 0; 2) Область значений: R; 3) log a x 1 =log a x 2 x 1 =x 2 ; 4) При a>1 функция y=log a x возрастает, при 0 0, т.е. a >1 и log a x 1 >log a x 2 x 1 >x 2, 0 log a x 2 x 1 < x 2 ;

решение уравнений на основании определения логарифма; метод потенцирования; приведение логарифмического уравнения к квадратному, заменой переменной; приведение логарифмов к одному основанию; решение уравнений логарифмированием обеих частей.

log x+1 (2x 2 +1)=2 По определению логарифма имеем: 2х 2 +1=(х+1) 2, x 2 -2x=0 x=2 или x=0. Проверка: х=0 не может быть корнем данного уравнения, так как основание логарифма х+11. При х=2 log 2+1 ( 2·2 2 +1)=log 3 9=2. Ответ: 2.

log 5 x=log 5 (6-x 2 ) Из равенства логарифмов следует: x= 6- x 2 x=-3 или x=2. Проверка: x=-3 корнем уравнения быть не может, так как логарифмы отрицательных чисел не существуют. Log 5 x=log 5 2, log 5 (6-x 2 ) = log 5 (6-2 2 )=log 5 2. Ответ: 2.

lg 2 x lgx + 1=0 lg 2 x 3 =(lgx 3 ) 2 =(3lgx) 2 = 9lg 2 x 9lg 2 x - 10lgx+1=0. Пусть lgx=y, тогда 9y y+1=0 y=1 или y=1/9 lgx=1 или lgx=1/9 x=10 или х=10 1/9. Проверкой подтверждаем, что оба числа являются корнями. Ответ: 10; 10 1/9

log 16 x+log 4 x+ log 2 x=7 (1/4)log 2 x+ (1/2)log 2 x+ log 2 x=7 (7/4)log 2 x=7 log 2 x=4 x=16. Ответ: 16.

X lgx+2 = 1000 Логарифмируя обе части уравнения ( x > 0), получим: ( lgx+2)·lgx=lg1000 lg 2 x+ 2lgx- 3=0 lgx=y у 2 + 2у- 3=0 y=- 3, у=1. lgx=- 3, x=10 -3 =0,001; lgx=1, x=10 Выполнив проверку, убедимся, что оба найденных значения переменной являются корнями данного уравнения. Ответ: 0,001; 10.

При переходах от логарифмических уравнений к уравнениям, не содержащим знака логарифма, следует учитывать область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Решение большинства логарифмических уравнений после некоторых преобразований сводится к решению логарифмического уравнения вида log h(x) f(x) = log h(x) g(x) или совокупности таких уравнений. При решении логарифмических уравнений следует помнить:

При решении уравнений, содержащих сумму двух и более логарифмов, следует помнить о том, что равенство log a f(x) + log a g(x) = log a (f(x)g(x)), выполняется не при любых значениях переменной, поскольку области определения его левой и правой частей различны. Левая часть определена при f(x) > 0, g(x) > 0. Правая часть определена при f(x) ·g(x) > 0. Таким образом, область определения правой части равенства log a f(x) + log a g(x) = log a (f(x)g(x)) шире области определения его левой части. Поэтому при решении уравнения переход от суммы логарифмов к логарифму произведения может привести к появлению посторонних корней.

Чтобы этого не случилось, нужно в самом начале решения выписать соответствующие ограничения или, получив корни, сделать проверку. Преобразование же логарифма произведения в сумму логарифмов таит еще больше опасностей: в этом случае область допустимых значений переменной сужается и при решении уравнения можно потерять корни. Поэтому, если такое преобразование все-таки необходимо, часто приходится рассматривать два случая: f(x) > 0, g(x) > 0, тогда log a (f(x)g(x)) = log a f(x) + log a g(x); f(x) < 0, g(x) < 0, тогда log a (f(x)g(x)) = log a ( - f(x)) + log a (-g(x)).

Джон Непер (англ. John Napier; ) шотландский барон, математик, один из изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических таблиц.

Используемая литература С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин «Алгебра и начала анализа для классов», Москва, Просвещение, 2006 С.А. Шестаков «Книга для учителя к Сборнику заданий по алгебре и началам анализа для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы» М.А. Куканов «Математика классы: решение заданий ЕГЭ высокой степени сложности. Основные методы и приемы», Волгоград, Учитель, 2009