ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ Хандогина Е.С., учитель математики ГБОУ СОШ 1125

ДВИЖЕНИЯ Образуют специальный класс преобразований, играющих особую роль в различных науках и их приложениях играющих особую роль в различных науках и их приложениях и широко распространенных в области природных и технических явлений и широко распространенных в области природных и технических явлений

ДВИЖЕНИЕ или ПЕРЕМЕЩЕНИЕ - это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния сохраняющее расстояния

РЕПЕР- упорядоченная тройка точек, не лежащих на одной прямой. не лежащих на одной прямой. Обозначается: R=(A, B, C). АФИННЫЙ, если ΔАВС произвольный ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ, если ΔАВС – прямоугольный если ΔАВС – прямоугольный, А=90º, AB=АС=1, А – начало репера, В и C – вершины репера

При движении репер R, образованный точками A, В, С, переходит в репер R', образованный точками A', B', C', причем это движение единственно. АВ С R:R: A' B' C' R' :R' :

СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ 1 1. Движение переводит прямую в прямую, параллельную прямую в параллельную ей прямую. а движение а ' а || а '

СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ 2.Движение переводит полуплоскость с границей A в полуплоскость c границей А', где А' – образ прямой a. 2. Движение переводит полуплоскость с границей A в полуплоскость c границей А', где А' – образ прямой a. а a Образ прямой а

СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ 3.Движение сохраняет простое отношение трех точек прямой 3. Движение сохраняет простое отношение трех точек прямой. А В С λ =AC : CB A1A1 B1B1 C1C1 λ 1 =A 1 C 1 : C 1 B 1 λ =λ 1

СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ 4. Движение сохраняет отношение «лежать между». 5. Движение переводит отрезок AB в отрезок A'B'. При этом середина отрезка AB переходит в середину отрезка A'B'.

СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ 6Движение переводит угол в равный ему угол, 6. Движение переводит угол в равный ему угол, луч в луч луч в луч A A1A1 A=A1A1 А М ' А ' ' М ' АМ ''А'М'''А'М'

СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ 7. Движение переводит взаимно перпендикулярные прямые во взаимно перпендикулярные прямые а b 'a''a' 'b''b' движение

СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ 8. При движении флаг переводится во флаг, где флаг - это тройка, состоящая из точки, луча и полуплоскости

2 РЕПЕРА R = (O, A, B) и R`= (O`, A`, B`) называются… ОДИНАКОВОориентированнымиеслиПРОТИВОПОЛОЖНООриентированнымиесли

Преобразование точек плоскости сохраняет ориентацию плоскости или меняет ориентацию плоскости, если любой репер и его образ сохраняют или меняют ориентацию

ВИДЫ ДВИЖЕНИЙ Движение, не меняющее ориентацию, называется ДВИЖЕНИЕМ I РОДА Движение, меняющее ориентацию, называется меняющее ориентацию, называется ДВИЖЕНИЕМ II РОДА

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ x` = xcosα – εysinα + x 0, y` = xsinα + εycosα + y 0 при ε = 1 ДВИЖЕНИЕ I РОДА при ε = -1 ДВИЖЕНИЕ II РОДА II РОДА

ДВИЖЕНИЕ I РОДА 1. Поворот на угол АМ М1М1 Аналитические выражения: x` = xcosα – ysinα, y` = xsinα + ycosα а) тождественное преобразование а) тождественное преобразование, б) центральная симметрия, x` = x y` = y x` =- x+х 0 y` =- y+y 0

ДВИЖЕНИЕ I РОДА 2. а)Параллельный перенос на Аналитические выражения: x` = x+х 0 y` =y б) Параллельный перенос на - тождественное преобразование x y

ДВИЖЕНИЕ II РОДА 1.Осевая симметрия А В С а С1С1 А1А1 В1В1 Аналитические выражения: x` = x y` =-y если прямая а совпадает с осью ОХ

ДВИЖЕНИЕ II РОДА 2.Скользящая симметрия (g) А В С а С1С1 А1А1 В1В1 g=s*f Осевая симметрия Параллельный перенос М1М1 М2М2 Аналитические выражения: x` = x+x 0 y` =-y если прямая а совпадает с осью ОХ и вектор переноса параллелен прямой а

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ Преобразование плоскости называется преобразованием подобия, если существует k > 0, такое что для любых точек A, B, A`, B` выполняется равенство: A`B` = kAB При k =1 преобразование подобия является движением

Рассмотрим на плоскости три точки М, М 0, M` и некоторое число m, такое, что М 0 M` = m *М 0 M М0М0 М M`M` М 0 M` = m *М 0 M Такое преобразование называется гомотетией. Центр гомотетии Коэффициентгомотетии m m>0 гомотетия положительна m

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ (f) f = g h движение гомотетия с коэффициентом k и центром в точке М 0 h: x` = kx y` = ky g: g: x`` = kx`cosα – kεy`sinα + x 0, y`` = kx`sinα + kεy`cosα + y 0 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ПОДОБИЯ ε = 1 подобие 1-го рода ε = -1 подобие 2-го рода

ПОДОБИЕ I РОДА Аналитические выражения : x` = kxcosα – kysinα + x, y` = kysinα + kycosα + y y` = kysinα + kycosα + y 1. Поворот на угол а) тождественное преобразование, если б) центрально-подобное вращение, если в) центрально-подобная симметрия

2. 2. Параллельный перенос на О О1О1 Аналитические выражения: x` = kx+ x 0, y` = ky+ y 0 y` = ky+ y 0

ПОДОБИЕ II РОДА Осевая симметрия м а М1М1 Аналитические выражения: x` = kx, x` = kx, y` = -ky y` = -ky Прямая а совпадает с осью ОХ

ПОДОБИЕ II РОДА Скользящая симметрия x y М М1М1 М Аналитические выражения: x` = kx+x 0, x` = kx+x 0, y` = -ky y` = -ky

ПОДОБИЕ II РОДА 3. Гомотетия(центральная симметрия) О М М Аналитические выражения: x` = kx+x 0, x` = kx+x 0, y` = ky+y 0 y` = ky+y 0

Cущность понятия движения ясна каждому из его жизненного и учебного опыта, ведь