Работа ученицы 7 класса Г МОУ «СОШ 24»г. Северодвинска Лысковской Татьяны Учитель математики Паршева В.В. 2008г.

Немного теории Для решения данного вида задач необходимо знать, что такое концентрация вещества в смеси (растворе или сплаве). Пусть в смесь входят компоненты А, В и С с массами т А, т В, т С соответственно. Будем считать, что масса т смеси равна сумме масс компонентов, т.е. т = = т А + т В + т С. Тогда концентрацией компонента А по массе будем называть отношение массы этого компонента к массе всей смеси и обозначать как С А : Аналогично для компонентов В и С Концентрация безразмерная величина. Понятно, что сумма концентраций всех компонентов смеси равна 1 (С А + С В + С С = 1).

Процентным содержанием компонента А называется число р А = с А 100%, т.е. это концентрация вещества, выраженная в процентах. Аналогично р В = с В 100% и р С = с С 100%.

Задача Масса% оловаМасса олова 1 кусок300г.20%=0, 2? 1)0,2х300=60(г) 2 кусок200 г.40%=0, 42)0,4х200=80(г) Сплав3) =500(г)? 5)140:500х100%= =28% 4)60+80=140(г)

Задача М% кислотыМ кислоты 1 раствор30050%1) 50%= 0, 5; 0, 5х300=150 (г) 2 раствор10030%2) 30%= 0, 3; 0,3х100= 30 (г) Смесь 1и 2 раствора 3) = = 400 (г) 4) 180:400х100%= = 45% Ответ: 45%

Алгоритм решения задач такого типа 1) 2) 3) 4) 5) 1)Масса олова в первом куске. 2)Масса олова во втором куске. 3)Масса олова в двух кусках. 4)Масса сплава в двух кусках. 5)Процентное содержание олова в двух кусках.

При решении задач данного типа полезно пользоваться наглядной моделью схемой, в которой смесь (раствор, сплав) изображается в виде прямоугольника, разбитого на фрагменты в соответствии с числом входящих в нее (в него) компонентов, а непосредственно при составлении уравнения проследить содержание какого-нибудь одного компонента.

Пример 1. Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200 г сплава, содержащего 30% меди? Решение. Изобразим каждый сплав в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента. Поскольку данные сплавы соединяют в новый (на схеме эту операцию обозначим знаком « + » между прямоугольниками, а тот факт, что третий сплав результат смешения первых двух, покажем с помощью знака «=») и он содержит те же самые компоненты, изобразим получающийся сплав в виде такого же прямоугольника

Сверху подпишем названия компонентов сплавов. Обычно бывает достаточно указать первые буквы в их названиях (если они различны). В данном случае это буквы М (медь) и С (свинец). Теперь внутри соответствующих фрагментов каждого прямоугольника запишем данное в условии процентное содержание элементов (в нашем примере только меди), а под прямоугольником укажем массу сплава (нам известна только масса третьего сплава).

В результате получим следующую модель рассматриваемой в задаче ситуации Решим задачу двумя способами.

Первый способ Пусть масса первого сплава х г, тогда масса второго сплава (200 - х) г. Дополним модель данными Зная, что сумма масс меди в исходных сплавах равна массе меди в новом сплаве, составим уравнение 0,15х+ 0,65(200 - х) = 0,3 200, из которого х = 140. Следовательно, надо взять 140 г первого сплава и = 60 г - второго.

Второй способ. Можно обозначить х г и у г массу первого и второго сплава соответственно. Очевидно, х + у = 200 первое уравнение системы. Второе уравнение получим, приравняв сумму масс меди в исходных сплавах и в новом сплаве. Таким образом,

Замечание. Обратите внимание на то, что в любом из рассмотренных способов решения можно было составить уравнение и на основе подсчета масс свинца. Ясно, что если в первом сплаве медь составляет 15% от его общей массы, то на свинец приходится 85%. Аналогично во втором и третьем сплавах свинца будет 35% и 70% со­ответственно. Тогда, решая задачу первым способом, получим уравнение 0,85х + 0,35(200 - х) = 0, Очевидно, оно равносильно уравнению 0,15х + 0,65(200 - х) = 0, Из двух возможных уравнений обычно выбирают то, что проще составить по условию задачи или легче будет решить.

Пример 2. В 4 кг сплава меди и олова содер­жится 40% олова. Сколько килограммов олова надо добавить к этому сплаву, чтобы содержание олова в новом сплаве было равно 70%? Решение. Обозначим компоненты сплава буквами М (медь) и О (олово). Пусть к сплаву надо добавить х кг олова, тогда масса нового сплава будет равна (4 + х) кг. Составим модель рассматриваемой в задаче ситуации. Так как сумма масс олова, указанных в левой части схемы (до смешения сплавов), равна массе олова в новом сплаве, можно составить уравнение 0,4 4 + х = 0,7(4 + х), откуда х = 4. Ответ: 4 кг.

Пример 3. Свежие грибы содержат 90% вла­ги, а сушеные 12% влаги. Сколько сушеных грибов получится из 10 кг свежих? Решение. Введем обозначения: ГМ грибная масса, В вода (влага). Процесс сушки грибов состоит в удалении из них большей части влаги. Если принять за х кг массу сушеных грибов, то масса удаленной влаги будет равна (10 - х) кг. Теперь нетрудно составить необходимую для дальнейшего решения схему

Можно составить уравнение на основе подсчета масс влаги, учитывая, что она удаляется из грибов: 0,9 10-(10-х) = 0,12х. Однако поступим иначе. Найдем процентное содержание грибной массы в свежих и в сушеных грибах и, учитывая, что она в результате сушки не изменилась, составим уравнение 0,1 10 = 0,88х. Ясно, что второе уравнение проще первого. Решив его, найдем Ответ:.

Пример 4. Из 40 т железной руды выплавляют 20 т стали, содержащей 6% примесей. Каков процент примесей в руде? Решение. Воспользуемся следующими обозначениями: Ж железо в руде и стали, П примеси. В процессе плавки удаляется большая часть примесей. Пусть в руде их содержится х %. Составим вспомогательную схему: Рассуждая, как и в предыдущей задаче, придем к уравнению 0,01 х = 0, Или, выразив процентное содержание железа в руде и стали:(100 -х)% и 94% соответствен­но, приравняем массы железа в обоих случаях, получим равносильное уравнение0,01 (100 - х) 40 = 0,94 20, откуда х = 53. Ответ: 53%.

Задача. Из бака емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и доли­ли водой. Потом опять вылили столько же литров смеси, после чего в баке осталось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз? Решение. Введем обозначения: К кислота, В вода. Пусть х л - количество кислоты, отлитой из бака в первый раз. Описанную в задаче ситуацию можно представить в виде следующей схемы Пример 5

Однако работа со схемой затруднительна: не хватает данных, чтобы составить уравнение. Определим процентное содержание воды в отлитой смеси. После второй операции (когда кислоту заменили водой) в баке получилась смесь, в которой на 54 л приходится х л воды. Следовательно, процентное содержание воды в этой смеси равно Кроме того, после третьей операции (когда вылили х л смеси) в баке стало (54-х)-24=(30-х)л воды. Добавим эти данные в схему Ясно, что количество воды, казанное в схеме слева и справа от знака равенства, одно и то же, т.е.

54х-х² = х; х² -108х+1620=0. Корни уравнения: х=90, х=18. Первый корень не подходит по смыслу задачи (нельзя отлить 90л из бочки, вмещающей всего 54л). Ответ:18л

Задача 6 Слиток сплава серебра с цинком весом в 3.5 кг содержал 76% серебра. Его сплавили с другим слитком и получили слиток весом в 10.5 кг, содержание серебра в котором было 84%. Сколько процентов серебра содержалось во втором слитке? Решение: 1) = 2.66 (кг) серебра в первом слитке. 2) = 8.82 (кг) серебра в 10.5 кг сплава. 3) = 6.16 (кг) серебра во втором слитке. 4) = 7 (кг) вес второго слитка. 5) 6.16: 7 = 0.88 = 88% серебра содержалось во втором слитке. Ответ: 88% серебра содержалось во втором слитке.