Определение призмы, пирамиды. Геометрия, 10 класс. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Пусть даны две параллельные плоскости и β. Построим в плоскости произвольный n-угольник A 1 A 2 …A n. A1A1 A2A2 A3A3 AnAn A n-1 β B1B1 B2B2 B3B3 BnBn B n-1 Через его вершины проведем параллельные прямые, пересекающие плоскость β в соответствующих точках В 1,В 2,…,В n. Соединив последовательно полученные точки получим n-угольник B 1 B 2 …B n. Многогранник, образованный двумя равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях и n параллелограммами является n-угольной призмой. Обозначается призма перечислением всех точек, участвующих в ее построении, в нашем случае: A 1 A 2 …A n B 1 B 2 …B n.

A1A1 A2A2 A3A3 B1B1 B2B2 B3B3 BnBn B n-1 Многоугольники A 1 A 2 …A n и В 1 В 2 …В n называются основаниями призмы (или верхней и нижней гранями n-угольной призмы). Параллелограммы A 1 B 1 B n A n, A 1 B 1 B 2 A 2, …,A n B n B n-1 A n-1 – боковые грани призмы. Параллельные и равные между собой отрезки A 1 B 1, A 2 B 2,…,A n B n – боковые ребра призмы. Можно установить, что для любой n-угольной призмы: 1)количество вершин – 2n; (В) 2)количество граней – (n+2); (Г) 3)количество ребер – 3n; (Р) и поэтому, как для любого многогранника, для n-угольной призмы выполняется формула Эйлера: В+Г–Р=2. AnAn A n-1 H O Отрезок A n O (B 1 B 2 B 3 ) – высота призмы.

Название призмы определяется количеством сторон в основании фигуры. Например, на рисунке представлены треугольная (а), четырехугольная (б), пятиугольная (в), шестиугольная (г) и семиугольная (д) призмы: а)б) в) г) д)

Призма называется прямой, если боковое ребро перпендикулярно плоскости основания (A n B n (A 1 A 2 A 3 )). Очевидно, что в этом случае боковые грани призмы – прямоугольники. Отрезки, соединяющие точки верхнего и нижнего оснований, не лежащие в одной боковой грани, называются диагоналями призмы. Задание: сколько диагоналей в n-угольной призме? A1A1 A2A2 A3A3 A n-1 B1B1 B2B2 B3B3 BnBn B n-1 Ответ: n(n–3). Сечения призмы, образованные диагональю призмы и боковым ребром, называются диагональными сечениями призмы. В наклонной призме – это параллелограммы, в прямой призме – прямоугольники. AnAn

Призма называется правильной, если: 1) она прямая; и 2) её основания – правильные многоугольники. На рисунке представлены правильные а) треугольная; б) четырехугольная; в) шестиугольная призмы.

A1A1 A2A2 A3A3 AnAn A n-1 Построим в плоскости произвольный n-угольник A 1 A 2 …A n. Выберем произвольную точку S, не принадлежащую плоскости. S Соединим точку S со всеми вершинами n-угольника A 1 A 2 …A n. Многогранник, образованный многоугольником и n треугольниками с общей вершиной вне плоскости многоугольника, является n-угольной пирамидой. Обозначается пирамида перечислением всех точек, участвующих в ее построении, в нашем случае: SA 1 A 2 …A n. Точка S называется вершиной пирамиды.

A1A1 A2A2 A3A3 AnAn A n-1 S Многоугольник A 1 A 2 …A n называется основанием пирамиды. Треугольники S A 1 A 2, S A 2 A 3, …, S A n-1 A n – боковые грани пирамиды. Отрезки SA 1, SA 2,…, SA n – боковые ребра пирамиды. Можно установить, что для любой n-угольной пирамиды: 1)количество вершин – (n+1); (В) 2)количество граней – (n+1); (Г) 3)количество ребер – 2n; (Р) и поэтому, как для любого многогранника, для n-угольной пирамиды выполняется формула Эйлера: В+Г–Р=2. H O Отрезок SO (A 1 A 2 A 3 ) – высота пирамиды.

A B N O M S H R l r C

A C D O M S H R l r

A B C D O M S H R l r