Тема урока : Сумма n- первых членов арифметической прогрессии

Цель урока : Вывести формулу суммы n- членов арифметической прогрессии, выработать навыки непосредственного применения данной формулы. Вывести формулу суммы n- членов арифметической прогрессии, выработать навыки непосредственного применения данной формулы.

Задачи урока : Учебная : познакомить учащихся с формулой суммы n- первых членов арифметической прогрессии. Воспитательная : воспитывать интерес к истории математики. Развивающая : развивать любознательность и вычислительные навыки.

Арифметический диктант : 1. У арифметической прогрессии первый член 4 (6), второй 6 (4). Найти разность d. 2. У арифметической прогрессии первый член 6 (4), второй 2 (6). Найти третий член. 3. Найти десятый ( восьмой ) член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность d равна 4 (5). 4. Является ли последовательность четных ( нечетных ) чисел арифметической прогрессией ? 5. ( а n ) – арифметическая прогрессия. Выразите через а 1 и d а 10 ; а 100 ; а n ; а n+ 1 ( а 20 ; а 200 ; а 2n ; а 2n+2 ). 6. Определение арифметической прогрессии. Понятие разности арифметической прогрессии. Вывод формулы n- го члена арифметической прогрессии.

Проверь себя ! 1 вариант: (1) d = 2; (2) а 3 = - 2; (3) 37; (4) Да; (5) а 10 = а 1 + 9d; а 100 = а d; а n = а 1 + d (n – 1); а n + 1 = a 1 + nd. 2 вариант (1) d = - 2; (2) а 3 = 8; (3) а 8 =36; (4) Да; (5) а 20 = а d; а 200 = а d; а 2n = а 1 + d(2n- 1). (6) Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Разность между любым ее членом, начиная со второго и предыдущим членом равна разности арифметической прогрессии.

Из истории математики : С формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии был связан эпизод из жизни немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777 – 1855).

Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 40 включительно: … +40. Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил…» Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было написано одно число и притом верное.

Как Гауссу удалось так быстро сосчитать сумму такого большого количества чисел?

Попытаемся найти ответ на данный вопрос.

Вот схема рассуждений Гаусса. Сумма чисел в каждой паре 41. Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41×20 = 820. Попытаемся понять как ему это удалось. Выведем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

а n ) – арифметическая прогрессия. S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-1 + a n, S n = a n + a n-1 +a n-2 + a n-3 + … =a 2 + a 1 a 2 + a n-1 = (a 1 + d) + (a n – d) = a 1 + a n, a 3 + a n-2 = (a 2 + d) + (a n-1 – d) = a 2 + a n-1 = a 1 + a n, a 4 + a n-3 = (a 3 + d) + (a n-2 – d) = a 3 + a n-2 = a 1 + a n и т.д. 2S n = (a 1 + a n )n. S n = (a 1 + a n )n : 2 – формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. S n = (a 1 + a n )n : 2, a n = a 1 + d(n – 1) S n = (a 1 + a 1 + d(n-1))n : 2 = (2a 1 + d(n – 1))n : 2 S n = (2a 1 + d(n – 1))n : 2 – формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

А теперь подобно Гауссу решим задачу о нахождении суммы натуральных чисел от 1 до 40.

Тренировочные упражнения : 1. (a n ) – арифметическая прогрессия. a 1 = 6, a 5 = 26. Найти S 5.

Решение: S n = (а 1 +а 5 ) : 2 × 5 Теперь вычислим сумму пяти первых членов арифметической прогрессии: S 5 = (6+26) : 2 × 5=80. Ответ: 80.

2. (a n ) – арифметическая прогрессия. a 1 = 12, d = - 3. Найти S 16.

Решение: S 16 = (а 1 +а 16 ):2×16 Заметим, что в данной прогрессии не задан последний член этой суммы. Найдем 16 член прогрессии: а 16 = ×(-3) =12+(-45) =-33 Теперь вычислим сумму: S 16 = (12+ (-33)) ×16: 2 = (-21) ×8 = Ответ: При решении таких задач можно воспользоваться второй формулой S 16 =(2а 1 +d( n -1)):2×16 =(2×12+15×(-3)):2×16 =- 21:2×16 = Ответ:

Работа по учебнику.

В заключение вспомним строки А. С. Пушкина из романа «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «…не мог он ямба от хорея, как мы не бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб – стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха (Мой дядя самых честных правил…), то есть ударными являются 2-й, 4-й, 6-й, 8-й и т. д. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2, 4, 6, 8, … Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. (Буря мглою небо кроет…) Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен единице, а разность по- прежнему равна двум: 1, 3, 5, 7, ….

Задание на дом : 1. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, в которой а 1 = 6, d = Найдите сумму первых n – членов арифметической прогрессии, 1,6; 1,4; …, если n = Найти сумму натуральных чисел начиная с 20 по 110 включительно. 4. Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии (а n ), в которой а 1 = 6, а 7 = 26.