Интегрирование

Если точка движется с постоянной скоростью, то она равна отношению пути ко времени, за который этот путь пройден Если тело движется ускоренно, тогда мгновенная скорость равна производной пути по времени

... Пусть точка движется с постоянной скоростью Графиком скорости будет прямая, параллельная оси абсцисс. Путь, пройденный точкой за время t записывается формулой Величина прямоугольника, ограниченного графиком скорости - это площадь осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми и Таким образом, путь можно вычислить как площадь под графиком

Пусть тело движется равноускоренно

, Тогда пройденный за время t путь графически выражается площадью треугольника, ограниченного графиком скорости осью абсцисс и вертикальной прямой t=t. Итак, мы по графику пути можем найти скорость (операция дифференцирования), а по графику скорости – путь. Новая операция называется интегрированием (сложение) и является обратной по отношению к дифференцированию.

Геометрический смысл интеграла – площадь под кривой (подграфика).. Подграфик функции задан на отрезке

. Разобьем отрезок на n частей, тогда подграфик разобьется на n криволинейных трапеций. При малых каждую такую трапецию можно считать прямоугольником, площадь которого

.. Площадь подграфика определится как сумма этих площадей Сумма вида называется интегральной суммой Интеграл – это предел интегральных сумм

Обратно, S(x) – первообразная Значение интеграла зависит от промежутка интегрирования, поэтому результат операции обратной дифференцированию – нахождение множества первообразных.